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Supremumsnorm: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:36 So 03/01/2016
Author: pam22

Aufgabe
Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem [mm] A\*x=b [/mm]

[mm] A=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} }, x=(x_{1},\ldots,x_{n})^{T}, b=(b_{1},\ldots,b_{n})^{T} [/mm]

Betrachten Sie [mm] \IR^{n} [/mm] mit der Supremum Norm (=Supremumsnorm?). Definiert seien:

-Die Reelle Zahlen [mm] a_{ij}:=-a_{ij}+\delta_{ij}, [/mm] wobei [mm] \delta_{ij} [/mm] die Kronecker Funktion ist.
-Die Lineare Abbildung [mm] T:\IR^{n}\to\IR^{n}, T(x):=x-A\*x+b [/mm]

1) Zeigen Sie, dass [mm] \{ \mbox{ Lösungen von } A\*x=b\}=\{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}. [/mm]

2) Beweisen Sie die folgende Ungleichung für alle [mm] x,x'\in\IR^{n} [/mm]
[mm] sup_{1\le i\le n}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}-x'_{j}| \le (sup_{1\le i\le n}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|)(sup_{1\le i\le n}|x_{j}-x'_{j}|) [/mm]

3) Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt hat, wenn [mm] \summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|<1. [/mm]

Hallo Forum,

mir ist bei dieser Aufgabe Einiges nicht so ganz klar:
  - Für alle Reelle Zahlen gilt ja: [mm] a_{ij}:=-a_{ij}+\delta_{ij} [/mm]
    Dann gilt ja für alle [mm] a_{ij} [/mm] mit [mm] i\not=j, a_{ij}=0 [/mm]
    und für alle [mm] a_{ij} [/mm] mit i=j: [mm] a_{ij}=-a_{ij}+1 \Rightarrow 2\*a_{ij}=1 \Rightarrow a_{ij}=\bruch{1}{2} [/mm]
    Damit ist [mm] b=A\*x=\bruch{1}{2}\*x [/mm]

    Das hilft mir aber in keiner der Teilaufgaben weiter. Stimmt es aber?

  - Wie genau soll ich [mm] \IR^{n} [/mm] mit der Supremumsnorm betrachten?
    So etwa?:
    [mm] ||T||_{\infty}=sup_{1\le x\le n}|T(x)| [/mm]

  - Ist mit der Kronecker Funktion das Kronecker Delta gemeint, für das gilt:
    [mm] \delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } i=j \\ 0, & \mbox{falls } i\not=j \end{cases} [/mm]  ?


Nun zu den Teilaufgaben:

1) [mm] A\*x=b \Rightarrow T(x):=x-A\*x+b=x [/mm]
    Jeder Punkt, für den gilt: T(x)=x, ist ein Fixpunkt.
    [mm] \Rightarrow \{ \mbox{ Lösungen von } A\*x=b\}=\{ \mbox{ Fixpunkte von } T\} [/mm]

2) Die zweite Teilaufgabe verstehe ich nicht so ganz. Reicht hier zu sagen, dass die Supremumsnorm submultiblikativ ist, da die Abbildung ja auf [mm] \IR^{n} [/mm] abgebildet ist?

3) Bei der dritten Teilaufgabe hab ich keinen Ansatz.

Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!

Liebe Grüße,
pam

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Supremumsnorm: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:50 So 03/01/2016
Author: hippias


> Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem
> [mm]A\*x=b[/mm]
>  
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} }, x=(x_{1},\ldots,x_{n})^{T}, b=(b_{1},\ldots,b_{n})^{T}[/mm]
>  
> Betrachten Sie [mm]\IR^{n}[/mm] mit der Supremum Norm
> (=Supremumsnorm?). Definiert seien:
>  
> -Die Reelle Zahlen [mm]a_{ij}:=-a_{ij}+\delta_{ij},[/mm] wobei
> [mm]\delta_{ij}[/mm] die Kronecker Funktion ist.
>  -Die Lineare Abbildung [mm]T:\IR^{n}\to\IR^{n}, T(x):=x-A\*x+b[/mm]
>  
> 1) Zeigen Sie, dass [mm]\{ \mbox{ Lösungen von } A\*x=b\}=\{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}.[/mm]
>  
> 2) Beweisen Sie die folgende Ungleichung für alle
> [mm]x,x'\in\IR^{n}[/mm]
>  [mm]sup_{1\le i\le n}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}||x_{j}-x'_{j}| \le (sup_{1\le i\le n}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|)(sup_{1\le i\le n}|x_{j}-x'_{j}|)[/mm]
>  
> 3) Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt hat, wenn
> [mm]\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|<1.[/mm]
>  Hallo Forum,
>  
> mir ist bei dieser Aufgabe Einiges nicht so ganz klar:

Mir auch...

>    - Für alle Reelle Zahlen gilt ja:
> [mm]a_{ij}:=-a_{ij}+\delta_{ij}[/mm]

Das ergibt keinen Sinn, denn laut Aufgabentext wird hier etwas definiert, daher muss auf der linken Seite ein anderes Symbol als [mm] $a_{i,j}$ [/mm] stehen. Sieh' doch bitte nach wie es richtig heisst.

>      Dann gilt ja für alle [mm]a_{ij}[/mm] mit [mm]i\not=j, a_{ij}=0[/mm]
>    
>   und für alle [mm]a_{ij}[/mm] mit i=j: [mm]a_{ij}=-a_{ij}+1 \Rightarrow 2\*a_{ij}=1 \Rightarrow a_{ij}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
>     Damit ist [mm]b=A\*x=\bruch{1}{2}\*x[/mm]
>  
> Das hilft mir aber in keiner der Teilaufgaben weiter.
> Stimmt es aber?

Wäre keine Definition, sondern eine Gleichung gegeben, dann wäre das soweit richtig.

>  
> - Wie genau soll ich [mm]\IR^{n}[/mm] mit der Supremumsnorm
> betrachten?
>      So etwa?:
>      [mm]||T||_{\infty}=sup_{1\le x\le n}|T(x)|[/mm]

Die Definition dieser Norm auf dem [mm] $\IR^{n}$ [/mm] wurde Dir ganz sicher in Deiner Vorlesung gegeben.

>  
> - Ist mit der Kronecker Funktion das Kronecker Delta
> gemeint, für das gilt:
>      [mm]\delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } i=j \\ 0, & \mbox{falls } i\not=j \end{cases}[/mm]
>  ?

Ja.

>  
>
> Nun zu den Teilaufgaben:
>  
> 1) [mm]A\*x=b \Rightarrow T(x):=x-A\*x+b=x[/mm]
>      Jeder Punkt,
> für den gilt: T(x)=x, ist ein Fixpunkt.
>      [mm]\Rightarrow \{ \mbox{ Lösungen von } A\*x=b\}=\{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}[/mm]
>  

Damit wäre allenfalls gezeigt, dass jede Lösung ein Fixpunkt ist. Nun fehlt noch die Überlegung, dass jeder Fixpunkt eine Lösung ist.

Aber Du musst Deine Lösung viel besser ausführen. Vielleicht etwa so.
1. Es muss gezeigt werden, dass [mm] $\{ \mbox{ Lösungen von } Ax=b\}\subseteq \{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}$. [/mm] Dazu sei [mm] $x\in \{ \mbox{ Lösungen von } Ax=b\}$ [/mm] beliebig. Dann ist $T(x)= x-Ax+b= x-b+b=x$. Daher ist [mm] $x\in \{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}$. [/mm] Damit gilt [mm] $\{ \mbox{ Lösungen von } Ax=b\}\subseteq \{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}$. [/mm]
2. Es muss gezeigt werden, dass [mm] $\{ \mbox{ Fixpunkte von } T\}\subseteq \{ \mbox{ Lösungen von } Ax=b\}$. [/mm]

Das versuche jetzt selber.

> 2) Die zweite Teilaufgabe verstehe ich nicht so ganz.
> Reicht hier zu sagen, dass die Supremumsnorm
> submultiblikativ ist, da die Abbildung ja auf [mm]\IR^{n}[/mm]
> abgebildet ist?

Ich verstehe nicht was das heissen soll: "da die Abbildung ja auf [mm] $\IR^{n}$ [/mm] abgebildet ist." Führe Dein Argument aus, dann sehen wir weiter.

>  
> 3) Bei der dritten Teilaufgabe hab ich keinen Ansatz.

Hier hast Du in der Aufgabenstellung etwas vergessen und hier müsste die Stelle sein, an der die fehlerhafte Definition aus der Aufgabenstellung zum Tragen kommt. Korrigiere das, dann geht's weiter. So wie Du die Teilaufgabe angegeben hast, ist ihre Aussage schlicht falsch.

>  
> Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
>  
> Liebe Grüße,
>  pam
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Supremumsnorm: Korrektur
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:47 Mo 04/01/2016
Author: pam22

Hallo Hippia,

vielen Dank für die Antwort und den Hinweis auf den Fehler.
Ich hab da etwas falsch abgeschrieben. Und zwar habe ich [mm] \alpha [/mm] oft als a geschrieben. Deshalb nochmal die kerregierte Aufgabenstellung:

Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem [mm] A\*x=b [/mm]

[mm] A=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} }, x=(x_{1},\ldots,x_{n})^{T}, b=(b_{1},\ldots,b_{n})^{T} [/mm]

Betrachten Sie [mm] \IR^{n} [/mm] mit dem Supremum Norm. Definiert seien:

-Die Reelle Zahlen [mm] \alpha_{ij}:=-a_{ij}+\delta_{ij}, [/mm] wobei [mm] \delta_{ij} [/mm] die Kronecker Funktion ist.
-Die Lineare Abbildung [mm] T:\IR^{n}\to\IR^{n}, T(x):=x-A\*x+b [/mm]

1) Zeigen Sie, dass [mm] \{ \mbox{L?sungen von } A\*x=b\}=\{ \mbox{Fixpunkte von } T\}. [/mm]

2) Beweisen Sie die folgende Ungleichung für alle x,x' [mm] \in\IR^{n} [/mm]
[mm] sup_{1\le i\le n}\summe_{j=1}^{n}|\alpha_{ij}||x_{j}-x'_{j}| \le (sup_{1\le i\le n}\summe_{j=1}^{n}|\alpha_{ij}|)(sup_{1\le i\le n}|x_{j}-x'_{j}|) [/mm]

3) Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt hat, wenn [mm] \summe_{j=1}^{n}|\alpha_{ij}|<1. [/mm]

Liebe Gruesse,
pam

Bezug
                        
Bezug
Supremumsnorm: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:00 Di 05/01/2016
Author: hippias

Ohne richtige Aufgabenstellung geht es nicht. Bei der 3. Teilaufgabe fehlt meiner Ansicht noch immer etwas. Ferner ist $T$ nicht linear, was aber unerheblich ist.

Konntest Du mit den bisherigen Hinweisen etwas anfangen? Ist Dir mehr zum 2. Teil eingefallen? Hast Du den Begriff Submultiplikativtät nachgeschagen? Und Supremumnorm? Erkennst Du, dass die [mm] $\alpha_{i,j}$ [/mm] etwas mit der Abbildung $T$ zu tun haben?

Bezug
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