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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - "Surjektivität" einer Funktion
"Surjektivität" einer Funktion < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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"Surjektivität" einer Funktion: Aufgabe zum Sommerloch.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mo 04.09.2017
Autor: fred97

Aufgabe
Mal wieder ist mir eine reizvolle Aufgabe über den Weg gelaufen:

AUFGABE: man zeige, dass es ein $c>0$ mit folgender Eigenschaft gibt: ist [mm] $A=(a_{ij}) \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] mit [mm] $|a_{ij}|

Falls jemand aus dem Kreise der Moderatoren dies liest, so bitte ich um die übliche Kennzeichnung dieser Aufgabe.

Danke !

        
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"Surjektivität" einer Funktion: Dummyfrage
Status: (Frage) statuslos Status (unbefristet) 
Datum: 13:51 Mo 04.09.2017
Autor: fred97

Dies ist eine Dummyfrage, damit die Übungsaufgabe in den 'Offenen Frage' sichtbar bleibt

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"Surjektivität" einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Mo 04.09.2017
Autor: Chris84

Hallo FRED
Ich habe eine Frage zu deiner Uebungsaufgabe: Du schreibst


"Ist $ [mm] A=(a_{ij}) \in \IR^{2 \times 2} [/mm] $ mit $ [mm] |a_{ij}|
Gilt das nicht immer, oder uebersehe ich was?

Wenn ich eine Matrix [mm] $A\in\IR^{2\times2}$ [/mm] habe, kann ich doch immer [mm] $c:=\max(|a_{ij}|)+1$ [/mm] setzen. Dann ist immer [mm] $|a_{ij}|
Habe ich das so richtig verstanden?

Gruss,
Chris



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"Surjektivität" einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mo 04.09.2017
Autor: HJKweseleit

Wenn ich das Ganze richtig verstehe, besagt die Aussage:

Man kann für eine beliebige 2x2-Matrix A eine 2x2-Matrix B finden, so dass [mm] A=B^T+B^2 [/mm] ist,

vorausgesetzt, dass die Beträge der Zahlen in A einen bestimmten Wert c nicht überschreiten.

(Wenn A um einen Faktor wächst, wächst B nicht einfach genau so mit, weil [mm] B^T [/mm] dann zwar linear wachsen würde, [mm] B^2 [/mm] aber nicht. Also klappt das Ganze dann vielleicht nicht mehr.)

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"Surjektivität" einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:01 Mo 04.09.2017
Autor: Chris84


> Wenn ich das Ganze richtig verstehe, besagt die Aussage:
>  
> Man kann für eine beliebige 2x2-Matrix A eine 2x2-Matrix B
> finden, so dass [mm]A=B^T+B^2[/mm] ist,
>  
> vorausgesetzt, dass die Beträge der Zahlen in A einen
> bestimmten Wert c nicht überschreiten.
>
> (Wenn A um einen Faktor wächst, wächst B nicht einfach
> genau so mit, weil [mm]B^T[/mm] dann zwar linear wachsen würde, [mm]B^2[/mm]
> aber nicht. Also klappt das Ganze dann vielleicht nicht
> mehr.)

Aaaaaaah,
alles klar. Nun habe ich es :)
Danke :)

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"Surjektivität" einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:53 Mo 04.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo FRED
>  Ich habe eine Frage zu deiner Uebungsaufgabe: Du
> schreibst
>  
>
> "Ist [mm]A=(a_{ij}) \in \IR^{2 \times 2}[/mm] mit [mm]|a_{ij}|
> [mm]c>0[/mm],] für [mm]i,j \in \{1,2\} [/mm], so gibt es stets ein [mm]B \in \IR^{2 \times 2}[/mm]
>  mit [mm]B^T+B^2=A [/mm]."
>  
> Gilt das nicht immer, oder uebersehe ich was?
>  
> Wenn ich eine Matrix [mm]A\in\IR^{2\times2}[/mm] habe, kann ich doch
> immer [mm]c:=\max(|a_{ij}|)+1[/mm] setzen.

den Denkfehler, den Du machst, ist, dass:

    [mm] $\exists [/mm] c > 0: [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \IR^{2 \times 2}: [/mm] ...$

besagt, dass das $c > [mm] 0\,$ [/mm] "UNIVERSELL" ist, während, wenn die Aussage
hieße:

    [mm] $\forall [/mm] A [mm] \in \IR^{2 \times 2}: \exists [/mm] c > 0:...$

es bedeuten würde, dass das [mm] $c\,$ [/mm] von [mm] $A\,$ [/mm] abhängen dürfte. Also in letztstehendem
Fall schreibt man da oft gerne auch $c=c(A)$ oder [mm] $c=c_A$ [/mm] dran, etwa:

    [mm] $\forall [/mm] A [mm] \in \IR^{2 \times 2}: \exists [/mm] c=c(A) > 0:...$

Ich glaube, das ist Dir mittlerweile selbst klargeworden. Da das aber so
ein Standard-Missverständnis ist, wollte ich es nochmal deutlich hervorheben!

Gruß,
  Marcel

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"Surjektivität" einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Di 05.09.2017
Autor: Chris84

Huhu
Danke auch an dir, Marcel, aber, wie du schon geschrieben hast, hat es bei mir bereits gedaemmert ;)

Gruss,
Chris

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"Surjektivität" einer Funktion: Dummyfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Di 05.09.2017
Autor: fred97

Noch eine Dummyfrage, da Chris 84 die erste Dummyfrage beantwortet hat

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"Surjektivität" einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:12 Do 07.09.2017
Autor: fred97


> Mal wieder ist mir eine reizvolle Aufgabe über den Weg
> gelaufen:
>  
> AUFGABE: man zeige, dass es ein [mm]c>0[/mm] mit folgender
> Eigenschaft gibt: ist [mm]A=(a_{ij}) \in \IR^{2 \times 2}[/mm] mit
> [mm]|a_{ij}|
>  mit [mm]B^T+B^2=A[/mm].
>  Falls jemand aus dem Kreise der Moderatoren dies liest, so
> bitte ich um die übliche Kennzeichnung dieser Aufgabe.
>  
> Danke !


Schade, dass sich noch niemand mit dieser Aufgabe beschäftigt hat. Aus diesem Grund ein Hinweis: man fasse den Raum  [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] als [mm] \IR^4 [/mm] auf und untersuche die Funktion

[mm] F(X):=X^T+X^2 [/mm]

auf Differenzierbarkeit und Invertierbarkeit ..... .

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"Surjektivität" einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Fr 08.09.2017
Autor: Stala

Hallo,

ich versuche es mal so:

Sei B = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]

Dann gilt für
f(B) = [mm] B^T [/mm] + [mm] B^2 [/mm] = [mm] \pmat{ a^2 + a +bc & ab + c + bd \\ b + ac + cd & bc + d^2 +d } [/mm]

fasse ich die Matrix nun als Vektor im [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] auf, so erhalte ich:

f(a,b,c,d) = [mm] \vektor{a^2 + a +bc \\ ab + c + bd \\ b + ac + cd \\ bc + d^2 +d} [/mm]

Die Funktion ist offensichtlich stetig differenzierbar und für die Ableitung am Nullpunkt erhält man die Matrix
[mm] f'(0,0,0,0)=\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1} [/mm]

Damit ist der lokale Umkehrsatz anwendbar. Es gilt außerdem
f(0)=0
Es gibt also eine [mm] \delta-Umgebumg [/mm] um 0, sodass [mm] f|U_{\delta} [/mm] bijektiv auf einer [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um f(0)=0 abbildet. Man wähle mit der Maximumsnorm also c < [mm] \varepsilon. [/mm]
Sei nun A eine Matrix mit [mm] \lvert a_{ij} \rvert [/mm] < c. Dann liegt der zugehörige Vektor des [mm] \mathbb{R}^4 [/mm] von A in der konstruierten [mm] \varepsilon-Umgebung. [/mm] Aus der Bijektvität von [mm] f|U_{\delta} [/mm] existiert dann ein B mit
f(B) = [mm] B^T [/mm] + [mm] B^2 [/mm] = A
die Behauptung.

Mahct das Sinn? ;)

VG

Stala



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"Surjektivität" einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Fr 08.09.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich versuche es mal so:
>  
> Sei B = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>  
> Dann gilt für
>  f(B) = [mm]B^T[/mm] + [mm]B^2[/mm] = [mm]\pmat{ a^2 + a +bc & ab + c + bd \\ b + ac + cd & bc + d^2 +d }[/mm]
>  
> fasse ich die Matrix nun als Vektor im [mm]\mathbb{R}^4[/mm] auf, so
> erhalte ich:
>  
> f(a,b,c,d) = [mm]\vektor{a^2 + a +bc \\ ab + c + bd \\ b + ac + cd \\ bc + d^2 +d}[/mm]
>  
> Die Funktion ist offensichtlich stetig differenzierbar und
> für die Ableitung am Nullpunkt erhält man die Matrix
>  [mm]f'(0,0,0,0)=\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1}[/mm]
>  
> Damit ist der lokale Umkehrsatz anwendbar. Es gilt
> außerdem
>  f(0)=0
>  Es gibt also eine [mm]\delta-Umgebumg[/mm] um 0, sodass
> [mm]f|U_{\delta}[/mm] bijektiv auf einer [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] um
> f(0)=0 abbildet. Man wähle mit der Maximumsnorm also c <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Sei nun A eine Matrix mit [mm]\lvert a_{ij} \rvert[/mm] < c. Dann
> liegt der zugehörige Vektor des [mm]\mathbb{R}^4[/mm] von A in der
> konstruierten [mm]\varepsilon-Umgebung.[/mm] Aus der Bijektvität
> von [mm]f|U_{\delta}[/mm] existiert dann ein B mit
>  f(B) = [mm]B^T[/mm] + [mm]B^2[/mm] = A
>  die Behauptung.
>  
> Mahct das Sinn? ;)
>  

Prima gemacht. So hab ich mir das vorgestellt.



> VG
>  
> Stala
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
"Surjektivität" einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:18 Sa 09.09.2017
Autor: Stala

Oh das freut mich ja :)

Viele Grüße



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