Surjektivität von lin Abb'en < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mi 15.11.2006 | | Autor: | dimi8585 |
| Aufgabe | | Sei [mm] f\mathcal{A} :\IR [/mm] n [mm] \to \IR [/mm] m eine lineare Abbildung. Zeigen sie, dass [mm] f\mathcal{A} [/mm] surjektiv n [mm] \ge [/mm] m impliziert |
Mir ist schon klar, dass der Bildbereich mindestens weniger oder gleichviele Elemente haben muss, damit die Abbildung surjektiv ist. Das [mm] \IR [/mm] n mehr Elemente hat als [mm] \IR [/mm] m wenn n [mm] \ge [/mm] m ist mir auch klar. Das Problem ist nur wie ich das streng mathematisch ausdrücken muss, bzw ob so eine Bgründung hinreichend ist oder ob man das besser und genauer erklären kann!?
Danke schon im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 15.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
was du bisher hier aufgeschrieben hast, reicht sicher nicht aus für einen Beweis.
Aber versuche es doch mal mit einem Widerspruchsbeweis:
sei f surjektiv - angenommen es wäre n<m ....
was heißt denn "surjektiv" genau?
(etwas über das Bild)
wie bringst du jetzt m und n mit ins spiel?
(bilder der Basisvektoren erzeugen das Bild schon bei einer linearen Abbildung)
wieviele linear unabhängige Bilder bräuchte man also und wieviele hat man...
versuchst du dich nochmal dran?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 17.11.2006 | | Autor: | dimi8585 |
Ich weiß Leider noch nicht was Basen sind. Hab aber trotzdem deinen Ansatz gewählt. Ich denke der ist richtig.
Sei [mm] f\mathcal{A} [/mm] surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] n<m
[mm] \Rightarrow \forall y\in\IR^m \exists x\in\IR^n [/mm] mit f(x)=y
[mm] \Rightarrow [/mm] da die Menge [mm] \IR^m [/mm] größer ist als die Menge [mm] \IR^n [/mm] (also [mm] \IR^m [/mm] mehr Elemente besitzt als [mm] \IR^n) [/mm] werden mehrer Werte [mm] f\mathcal{A}^-1(y) [/mm] (wie schreibt man das eigentlich besser? habs nicht gefunden) auf das selbe [mm] x\in \IR^n [/mm] abgebildet.
Dies ist aber ein Widerspruch zu der Def. von Abbildungen, die besagt nämlich dass einem [mm] x\in \IR^n [/mm] genau 1 [mm] y\in \IR^m [/mm] zugeordnet wird.
Also ist die Annahme falsch und n [mm] \ge [/mm] m
Was sagst du dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Fr 17.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> Ich weiß Leider noch nicht was Basen sind. Hab aber
> trotzdem deinen Ansatz gewählt. Ich denke der ist richtig.
Wenn ihr keine Basen hattet, müsst ihr dennoch irgendwie die Dimension eingeführt haben, sonst kann man schlecht von [mm] $\IR^n$ [/mm] auf die Zahl n kommen, oder?
>
> Sei [mm]f\mathcal{A}[/mm] surjektiv
was soll eigentlich diese Schreibweise? Fehlen da ein paar Zeichen oder was soll das A bedeuten?
> [mm]\Rightarrow[/mm] da die Menge [mm]\IR^m[/mm] größer ist als die Menge
> [mm]\IR^n[/mm] (also [mm]\IR^m[/mm] mehr Elemente besitzt als [mm]\IR^n)[/mm]
ähm - wie kommst du denn darauf?
die sehen beide ziemlich überabzählbar unendlich aus !
(außerdem gibt es eine surjektive Abbildung von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^m$ [/mm] auch wenn m>n ist - nur eben keine lineare !!)
der rest der argumentation ist also auch nicht so durchführbar...
du musst wirklich von dem Raum auf die Dimension kommen - schau doch mal in deinen Aufzeichnungen, was ihr dazu hattet, dann kann man dir vielleicht weiter helfen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 17.11.2006 | | Autor: | dimi8585 |
Also beim [mm] f\mathcal{A} [/mm] ist das [mm] \mathcal{A} [/mm] der index. Also meine ich damit die Abb. [mm] f\mathcal{A}(x)=A*x [/mm] (weiß nicht wie man es besser auf diesem System schreiben kann)
Ok, also das Problem ist, dass unsere Vorlesung unseren Übungen gegenüber hinterherhinkt.
Unser Tutor hat den Dimensionssatz erwähnt.
Ist es richtig wenn ich sage [mm] f\mathcal{A} [/mm] ist surjektiv wenn [mm] imf\mathcal{A} [/mm] = dem angegebenem Bildbereich ist???
Wenn ja kann ich es nicht erklären! Mir hat das nur jemand gesagt. Hat das was mit dem Beweis zu tun?
Sorry wenn ich dich ein bischen verwirre; kenne die Seite erst seid gestern und kenne mich daher nicht so gut aus! Außerdem bin ich nich in den ersten Wochen meines Studiums
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Also beim $ [mm] f\mathcal{A} [/mm] $ ist das $ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ der index. Also meine ich damit die Abb. $ [mm] f\mathcal{A}(x)=A\cdot{}x [/mm] $ (weiß nicht wie man es besser auf diesem System schreiben kann)
Ok, also das Problem ist, dass unsere Vorlesung unseren Übungen gegenüber hinterherhinkt.
Unser Tutor hat den Dimensionssatz erwähnt.
Ist es richtig wenn ich sage $ [mm] f\mathcal{A} [/mm] $ ist surjektiv wenn $ [mm] imf\mathcal{A} [/mm] $ = dem angegebenem Bildbereich ist???
Wenn ja kann ich es nicht erklären! Mir hat das nur jemand gesagt. Hat das was mit dem Beweis zu tun?
Sorry wenn ich dich ein bischen verwirre; kenne die Seite erst seid gestern und kenne mich daher nicht so gut aus! Außerdem bin ich nich in den ersten Wochen meines Studiums
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 So 19.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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