Tangens 90° < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Fr 13.12.2013 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Erkläre, warum tan 90° nicht definiert ist! |
Hallo zusammen!
Wir haben diese Woche im rechtwinkligen Dreieck die Beziehung Tangens eines Winkels = Gegenkathete / Ankathete gelernt.
Ich würde die Frage jetzt so beantworten:
Weil der tangens von 90 das verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im rechtwinkligen dreieck beschreibt. Da im rechtwinkligen Dreieck aber schon ein rechter winkel ist und die Winkelsumme der drei Winkel 180° beträgt, ergibt sich daraus, dass es keinen tangens von 90° geben kann. der dritte winkel wäre dann null.
Ist dies so korrekt?
Vielen lieben Dank!
Gruß Tina
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Hallo,
> Erkläre, warum tan 90° nicht definiert ist!
> Hallo zusammen!
> Wir haben diese Woche im rechtwinkligen Dreieck die
> Beziehung Tangens eines Winkels = Gegenkathete / Ankathete
> gelernt.
>
> Ich würde die Frage jetzt so beantworten:
>
> Weil der tangens von 90 das verhältnis von Gegenkathete zu
> Ankathete im rechtwinkligen dreieck beschreibt. Da im
> rechtwinkligen Dreieck aber schon ein rechter winkel ist
> und die Winkelsumme der drei Winkel 180° beträgt, ergibt
> sich daraus, dass es keinen tangens von 90° geben kann.
> der dritte winkel wäre dann null.
>
> Ist dies so korrekt?
Nein: in keinster Weise. Es würde demnach nämlich die Werte sin(0)=0, sin(90)=1, cos(0)=1, cos(90)=0 sowie tan(0)=0 ebenfalls nicht geben. Diese Werte sind jedoch definiert. Es muss also noch einen anderen Grund geben.
Führe einmal folgendes Gedankenexperiment durch: nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit sagen wir [mm] \alpha=89° [/mm] und berechne einmal den Tangens dieses Winkels. Jetzt lasse den Winkel in Gedanken immer größer werden und langsam gegen 90 Grad streben. Was passiert dabei mit der Gegenkathete, wenn man die Ankathete belässt wie sie ist? Und was muss dann mit der Tangensfunktion passieren, wenn man letztendlich zu [mm] \alpha=90° [/mm] übergeht?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Nein: in keinster Weise.
*brrr*
Das ist ebenfalls in keiner Weise richtig.
Grammatikalischer Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > Nein: in keinster Weise.
>
> *brrr*
> Das ist ebenfalls in keiner Weise richtig.
>
> Grammatikalischer Gruß,
> Gono.
Kennst du den: treffen sich zwei Informatiker nach dem Urlaub. Sagt der eine zum anderen: Wie war denn das Wetter bei euch? Entgegnet der andere: CAPS LOCK...
Ich möchte dir also in keinster weise widersprechen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 13.12.2013 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Warum existiert tan 90° nicht. |
Wenn ich dieses Gedankenexperiment verfolge, dann sind doch Gegenkathete und Hyptotenuse parallel. Also wenn der Winkel Alpha gegen 90° strebt. Es würde also kein Dreieck mehr geben, wenn die 2 Seiten parallel sind. Stimmt das so ?
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Hallo,
> Warum existiert tan 90° nicht.
> Wenn ich dieses Gedankenexperiment verfolge, dann sind
> doch Gegenkathete und Hyptotenuse parallel. Also wenn der
> Winkel Alpha gegen 90° strebt. Es würde also kein Dreieck
> mehr geben, wenn die 2 Seiten parallel sind. Stimmt das so?
Nein, darum geht es nicht. Was passiert mit der Länge der Gegenkathete im Verhältnis zur Ankathete (die ja gleich bleibt) und was folgt daraus für den Tangens von 90°?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 13.12.2013 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Warum gibt es tan90° nicht? |
Hm...also die Länge der Gegenkathete strebt dann gegen Unendlich. Und der Tangenswert strebt für Alpha auch gegen unendlich, wenn ich Alpha immer näher an 90° annähere. Aber warum das ein Grund sein soll kann ich nicht ganz nachvollziehen.
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Hallo,
> Warum gibt es tan90° nicht?
> Hm...also die Länge der Gegenkathete strebt dann gegen
> Unendlich.
Richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und der Tangenswert strebt für Alpha auch gegen
> unendlich, wenn ich Alpha immer näher an 90° annähere.
> Aber warum das ein Grund sein soll kann ich nicht ganz
> nachvollziehen.
Der Tangens ist eine Funktion f: [mm] \IR\to\IR [/mm] und [mm] \infty [/mm] ist keine reelle Zahl, damit geht es mal los. Zweitens ist es bekanntlich so, dass wenn man die Winkelfunktionen dann am Einheitskreis definiert, kommt noch die Problematik dazu, dass das Verhalten der Tangensfunktion an beiden Seiten der Definitionslücken bei [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k*\pi [/mm] (k [mm] \in\IZ) [/mm] nicht einheitlich ist. Sprich: von links her strebt die Tangensfunktion dort gegen [mm] \infty, [/mm] von rechts her gegen [mm] -\infty. [/mm] Aber das hat natürlich jetzt hier in deiner Begründung nichts zu suchen, denn du gehst ja von der Definition am rechtwinkligen Dreieck aus.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 13.12.2013 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Warum gibt es tan90° nicht? |
Wir haben die Tangensfunktion noch nicht gelernt! Wir haben Tangens nur am rechtwinkligen Dreieck definiert!
Die korrekte Antwort wäre also dann: Tan 90° gibt es nicht, weil dann die Gegenkathete gegen unendlich strebt! Sprich es gibt also kein Dreieck! Ist das so richtig...also auch dass es damit kein Dreieck geben würde???
Mit den Winkeln im Dreieck kann man die Nicht-Existenz also nicht begründen!
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Hallo,
> Warum gibt es tan90° nicht?
> Wir haben die Tangensfunktion noch nicht gelernt! Wir
> haben Tangens nur am rechtwinkligen Dreieck definiert!
>
> Die korrekte Antwort wäre also dann: Tan 90° gibt es
> nicht, weil dann die Gegenkathete gegen unendlich strebt!
Bis dahin ist es richtig.
> Sprich es gibt also kein Dreieck! Ist das so richtig...
Nein, das ist eben nicht richtig. Ich habe es dir oben doch auseinander gesetzt und es wundert mich ein wenig, dass das so wenig klar ist denn es ist Schulstoff aus Klasse 9.
> also
> auch dass es damit kein Dreieck geben würde???
Vergiss die Argumentation mit den Dreiecken. Definitionen am rechtwinkligen Dreieck wie sin(0)=0 basieren auf geometrischen Grenzübergängen (wie sie etwa Newton bei der Entwicklung seiner Analysis verwendet hat). Für sin(0) betrachte man ein Dreieck mit kleinem Winkel [mm] \alpha, [/mm] lasse den Winkel gegeb 0 streben und mache sich klar, dass dabei bei konstanter Hypotenuse die Gegenkathete zwangsläufig ebenfalls gegen die Länge Null strebt, so dass wir in dem entarteten Dreieck* jetzt im Prinzip
[mm] sin(0)=\bruch{0}{HYP}=0
[/mm]
haben. Wobei, wie du schon sagst, ein Dreieck liegt zwar nicht mehr vor, es ist ein Grenzfall, das Dreieck ist zu einer Strecke zusammengeschrumpft. Von daher definiert man das und die Definition ist sinnvoll.
>
> Mit den Winkeln im Dreieck kann man die Nicht-Existenz also
> nicht begründen!
Das ist so richtig.
*Bevor jetzt hier jemand auf eine falsche Interpretation kommt: das sagt man wirklich so und diese Praxis ist Hunderte von Jahren alt!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Fr 13.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > Warum gibt es tan90° nicht?
> > Wir haben die Tangensfunktion noch nicht gelernt! Wir
> > haben Tangens nur am rechtwinkligen Dreieck definiert!
> >
> > Die korrekte Antwort wäre also dann: Tan 90° gibt es
> > nicht, weil dann die Gegenkathete gegen unendlich
> strebt!
>
> Bis dahin ist es richtig.
>
> > Sprich es gibt also kein Dreieck! Ist das so richtig...
>
> Nein, das ist eben nicht richtig. Ich habe es dir oben doch
> auseinander gesetzt und es wundert mich ein wenig, dass das
> so wenig klar ist denn es ist Schulstoff aus Klasse 9.
Hallo Diophant,
dir ist hier ein schlimmer mathematischer Fauxpas unterlaufen, den ich dir eigentlich nicht zugetraut hätte:
DU VERWECHSELST ALLAUSSAGEN MIT EXISTENZAUSSAGEN!
Richtig ist: Es existiert mindestens ein Bundesland der Bundesrepublik Deutschland, in dem die SinusFUNKTION ein Lehrplanstoff der Klassenstufe 9 ist.
Deine Annahme "Für alle Bundesländer gilt..." hält einer empirischen Überprüfung nicht stand.
Es ist ein relativ verbreitetes Vorgehen, Sinus und Konsorten erst mal nur als Seitenverhältnis in existierenden (nicht entarteten) rechtwinkligen Dreiecken zu definieren.
Ob man dabei auch schon die erschröckliche Fortsetzung auf 0° bzw. 90° und darüber hinaus wagt oder doch lieber ein Jahr später damit einsetzt, ist von Fürstentum zu Fürstentum verschieden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo abakus,
ich hätte den betreffenden Satz vielleicht mit einem Fragezeichen versehen sollen (ich wollte das eigtentlich nicht so explizit behaupten, wie du es verstanden hast), aber eigentlich ist es unwichtig für den Thread. Ich ging halt davon aus, dass wenn so explizit nach dem Tangens von 90° gefragt wird die anderen betreffenden Werte für 0° und 90° schon erfolgreich definiert wurden, da sonst ja die Besonderheit dieser Frage irgendwie untergeht.
Aber nochmal zurück zu deiner Anmerkung: ja, ich habe mir keinen Kopf gemacht über die Bildungsplan-Ausgestaltung in anderen Bundesländern. Bei uns in Ba-Wü macht man die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck inkl. der einschlägig bekannten algebraischen Werte für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60° und 90° im Gymnasium in Stufe 9 und in der Realschule in Stufe 10.
Was einen eigentlich zu solchen 'Zwischenrufen' bringt, ist die Tatsache, dass das bspw. in meiner Schulzeit selbstverständlichste Grundlagen waren, die sehr gründlich über längere Zeit erarbeitet wurden. Aber wenn ich da weitermache, entwickelt sich meine Ausführung in Richtung tan(90°)...
Und dann möchte ich noch ggf. (sofern notwendig) richtigstellen, dass ich mit dem Verweis auf die Schulmathematik keinesfalls die Fragestellerin angreifen wollte, sondern ich wollte nur auf die Einfachheit der von mir vorgeschlagenen Überlegung hinweisen.
Beste Grüße & schönen Abend, Diophant
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