matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationTaylorpolynom
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differentiation" - Taylorpolynom
Taylorpolynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Do 24.04.2014
Autor: Hasi1

Aufgabe
bestimmen sie das Taylorpolynom k-ter Ordnung von [mm] f(x)=(1-x)^{N} [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm]

Hey :-)
Also bei den einfachen Taylorreihen habe ich keine Probleme. Allerdings weiß ich hier nicht ganz recht was ich bestimmen soll. bzw. wie.
Mein Ansatz:
[mm] T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ \sum_{i=1}^{k}\frac{f^{i}(x)}{i!}*(x^{i}) [/mm]


aber wie kann ich nun mit dieser Gleichung das Polynom bestimmen?

wenn ich die Ableitungen aufstelle und [mm] x_{0} [/mm] einsetze erhalte ich :
f'(0)= N* [mm] 1^{N-1} [/mm] = N
f''(0)= N* (N-1)
...
[mm] f^{k}(0)= [/mm] N*(N-1)*...*(N-(k-1))

wenn ich das alles zusammen setze würde das Taylorpolynom ja ungefähr so aussehen:

[mm] T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ N*x^{1}+(N*(N-1))*x^{2}+....+ N*(N-1)*...*(N-(k-1))*x^{k} [/mm]


oder?



LG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Do 24.04.2014
Autor: schachuzipus

Hallo Hasi1 und [willkommenmr],

> bestimmen sie das Taylorpolynom k-ter Ordnung von
> [mm]f(x)=(1-x)^{N}[/mm] im Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]
> Hey :-)
> Also bei den einfachen Taylorreihen habe ich keine
> Probleme. Allerdings weiß ich hier nicht ganz recht was
> ich bestimmen soll. bzw. wie.
> Mein Ansatz:
> [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ \sum_{i=1}^{k}\frac{f^{i}(x)}{i!}*(x^{i})[/mm] [ok]

>
>

> aber wie kann ich nun mit dieser Gleichung das Polynom
> bestimmen?

>

> wenn ich die Ableitungen aufstelle und [mm]x_{0}[/mm] einsetze
> erhalte ich :
> f'(0)= N* [mm]1^{N-1}[/mm] = N

Nein, was ist denn mit der inneren Ableitung?

[mm]\frac{d}{dx}\left[(1-x)^N\right] \ = \ N\cdot{}(1-x)^{N-1}\cdot{}(-1) \ = \ (-1)^1\cdot{}N\cdot{}(1-x)^{N-1}[/mm]

Letzteres habe ich so geschrieben, damit du leichter erkennen kannst, wie das mit der Ableitung im allg. Fall ist ...

> f''(0)= N* (N-1)
> ...
> [mm]f^{k}(0)=[/mm] N*(N-1)*...*(N-(k-1))

Die Vorzeichen müssen alternieren mit wechselnder Ableitung!

Rechne nochmal genauer nach ...

>

> wenn ich das alles zusammen setze würde das Taylorpolynom
> ja ungefähr so aussehen:

>

> [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ N*x^{1}+(N*(N-1))*x^{2}+....+ N*(N-1)*...*(N-(k-1))*x^{k}[/mm]

>
>

> oder?

Fast, siehe die Bem. zu den Vorzeichen !

>
>
>

> LG

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Do 24.04.2014
Autor: fred97


> bestimmen sie das Taylorpolynom k-ter Ordnung von
> [mm]f(x)=(1-x)^{N}[/mm] im Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]
>  Hey :-)
>  Also bei den einfachen Taylorreihen habe ich keine
> Probleme. Allerdings weiß ich hier nicht ganz recht was
> ich bestimmen soll. bzw. wie.
>  Mein Ansatz:
>  [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ \sum_{i=1}^{k}\frac{f^{i}(x)}{i!}*(x^{i})[/mm]
>  
>
> aber wie kann ich nun mit dieser Gleichung das Polynom
> bestimmen?
>  
> wenn ich die Ableitungen aufstelle und [mm]x_{0}[/mm] einsetze
> erhalte ich :
>  f'(0)= N* [mm]1^{N-1}[/mm] = N
>  f''(0)= N* (N-1)
>  ...
>  [mm]f^{k}(0)=[/mm] N*(N-1)*...*(N-(k-1))
>  
> wenn ich das alles zusammen setze würde das Taylorpolynom
> ja ungefähr so aussehen:
>  
> [mm]T_{f,0}^{k}(x)= 1^{N}+ N*x^{1}+(N*(N-1))*x^{2}+....+ N*(N-1)*...*(N-(k-1))*x^{k}[/mm]
>  
>
> oder?
>  
>
>
> LG
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Es ist [mm] (1-x)^{N}=\summe_{j=0}^{N}\vektor{N \\ j}(-1)^jx^j [/mm]

Ist k [mm] \ge [/mm] N, so ist das gesuchte Polynom =

    [mm] \summe_{j=0}^{N}\vektor{N \\ j}(-1)^jx^j. [/mm]

Ist k< N, so ist das gesuchte Polynom =

    [mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{N \\ j}(-1)^jx^j. [/mm]

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]