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Taylorreihe: Berechnung von \pi/6
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 So 10.04.2005
Autor: wetterfrosch

Hallo,
ich habe hier eine Rechenaufgabe, bei der ich nicht weiß, wie aich auf die Lösung kommen soll, und bitte deshalb um Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Berechne [mm] \pi/6 [/mm] mit einer Genauigkeit von 1/100. Verwende dazu die Taylorreihe von arcsin(x) mit Fehlerabschätzung.

Ich habe folgende Informationen herausgefunden:

arcsin(x) =  [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}}{2n+1} \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ n} x^{2n+1} [/mm] , wobei |x|<1 ist.

Aus sin 30°= sin  [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und arcsin  [mm] \bruch{1}{2}= \bruch{\pi}{6} [/mm] erhält man für x= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] eine gut konvergente Reihe für [mm] \pi. [/mm]
( [mm] \bruch{\pi}{6}= [/mm] 0,523598775... laut Taschenrechner)

Die TAylorreihe lautet im allgemeinen Fall:

f(y)=  [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{ f^{(k)}(x)}{k!} (y-x)^{k}+R [/mm]

wobei für den Restterm R folgende 2 Darstellungen gelten:

R=  [mm] \integral_{x}^{y} [/mm] { [mm] \bruch{ f^{(n+1)}(t)}{n!} (y-t)^{n} [/mm] dt}

R=  [mm] \bruch{ f^{(n+1)} (\mu)}{(n+1)!} (y-x)^{n+1} [/mm]

[mm] f^{(k)} [/mm] ist die k-te Ableitung und  [mm] \mu [/mm] ist eine Zwischenstelle.

Ich weiß nicht, wie ich auf arcsin(x) die TAylorreihe anwenden soll, sodass ich auf eine Näherung von [mm] \pi/6 [/mm] komme.
Danke.
wetterfrosch

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 So 10.04.2005
Autor: Christian


> Hallo,
>  ich habe hier eine Rechenaufgabe, bei der ich nicht weiß,
> wie aich auf die Lösung kommen soll, und bitte deshalb um
> Hilfe.
>  Die Aufgabe lautet:
>  Berechne [mm]\pi/6[/mm] mit einer Genauigkeit von 1/100. Verwende
> dazu die Taylorreihe von arcsin(x) mit Fehlerabschätzung.
>  
> Ich habe folgende Informationen herausgefunden:
>  
> arcsin(x) =  [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}}{2n+1} \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ n} x^{2n+1}[/mm]
> , wobei |x|<1 ist.
>  
> Aus sin 30°= sin  [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] =  [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und arcsin
>  [mm]\bruch{1}{2}= \bruch{\pi}{6}[/mm] erhält man für x=
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] eine gut konvergente Reihe für [mm]\pi.[/mm]
>  ( [mm]\bruch{\pi}{6}=[/mm] 0,523598775... laut Taschenrechner)
>  
> Die TAylorreihe lautet im allgemeinen Fall:
>  
> f(y)=  [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{ f^{(k)}(x)}{k!} (y-x)^{k}+R[/mm]
>  
> wobei für den Restterm R folgende 2 Darstellungen gelten:
>  
> R=  [mm]\integral_{x}^{y}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ [mm]\bruch{ f^{(n+1)}(t)}{n!} (y-t)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> dt}
>  
> R=  [mm]\bruch{ f^{(n+1)} (\mu)}{(n+1)!} (y-x)^{n+1}[/mm]
>  
> [mm]f^{(k)}[/mm] ist die k-te Ableitung und  [mm]\mu[/mm] ist eine
> Zwischenstelle.
>  
> Ich weiß nicht, wie ich auf arcsin(x) die TAylorreihe
> anwenden soll, sodass ich auf eine Näherung von [mm]\pi/6[/mm]
> komme.
>  Danke.
>  wetterfrosch

Alles richtig.

Allerdings ist dein Problem eigentlich gar keines.
Du sollst, wenn ich dich richtig verstanden habe, [mm] $\frac{\pi}{6}$ [/mm] mit einer Genauigkeit von 0.01 berechnen. Dazu hast Du die Taylorreihe vom arcsin doch schon gegeben:
[mm] $\arcsin{x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{n}}{2n+1}$ [/mm]
Da setzt Du jetzt einfach [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] ein und rechnest die ersten paar Glieder, sagen wir beispielsweise 4, aus.
Jetzt mußt Du nur noch beweisen, daß der Fehler, den Du bei dieser Näherung machst, kleiner als 0.01 ist, daß also beispielsweise
[mm]\bruch{ f^{(4+1)} (\mu)}{(4+1)!} (y-x)^{4+1}<0.01[/mm] gilt.
(für den Fall, daß Du 4 Glieder ausgerechnet hast, ich denke aber, daß Du eher nicht so viele brauchst)

Hoffe, das hilft dir ein bißchen weiter,

Gruß,
Christian


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 10.04.2005
Autor: wetterfrosch

Hallo,
danke erstmal für die Hilfe. Aber ich verstehe immer noch nicht, wieso du bei arcsin(x) den Binomialkoeffizient und  [mm] x^{2n+1} [/mm] weglässt, weil wenn ich die beiden mit berücksichtige, dann hab ich bereits bei n=0, wenn ich das in Binomialkoeffizient Probleme, weil -1/2 über 0 nicht lösbar ist.
Wie beweist man, dass der Fehler nicht größer als 0,01 ist?
Danke für die Hilfe!
wetterfrosch

Bezug
                        
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Taylorreihe: Versuch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 So 10.04.2005
Autor: wetterfrosch

Hallo,
ich habe den Binomialkoeffizient ersetzt durch eine andere Darstellung, und zwar  [mm] \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ n}= \bruch{1}{n!} \produkt_{k=0}^{n-1}( \bruch{-1}{2}-k). [/mm]

Dann habe ich wie Christian es gesagt hat, für n Werte von 0 bis 4 eingesetzt für x= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und erhalte als Ergebnis ein ähnliches Ergebnis wie der Wert von  [mm] \bruch{\pi}{6}, [/mm] wenn man den in den Taschenrechner eintippt(siehe erster Post): 0,524237932...

Wie beweise ich nun, dass der Fehler kleiner als 0,01 ist?
Danke.
wetterfrosch

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Bezug
Taylorreihe: Restglied
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Mo 11.04.2005
Autor: leduart

Hallo Wetterfrosch
Den Fehler bestmmst du über R,(Aus deinem 1. Posting) da du den Fehler abschätzest, kannst du als Zwischenstelle den schlimmsten Fall annehmen . das gibt ja gerade an, wie gross der Rest höchstens ist! wahrscheinlich musst du nicht bis n=4 gehen, um deinen gesuchten Fehler zu erreichen.
Gruss leduart

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Taylorreihe: Weiteres Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Mo 11.04.2005
Autor: wetterfrosch

Hallo,
danke fuer die Hilfe, aber ich muss doch mal die dumme frage stellen, was ist denn hier der "schlimmste Fall"? Und wenn ich mir den Restterm nun anschaue:
R= [mm] \bruch{f^{4+1}(\mu)}{(4+1)!}(y-x)^{4+1} [/mm] < 0,01, wie komme ich nun auf die x und y-werte und auf [mm] \mu, [/mm] die Zwischenstelle? Ich denke, man muss fuer x 1/2 einsetzen, und fuer y  und [mm] \mu [/mm] weiss ich nicht.
Danke.


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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mo 11.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Da du ja die Taylorentwicklung ja um $x=0$ herum betrachtest, musst du $x=0$ und $y = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] einsetzen. Weiterhin sollst du für [mm] $\mu$ [/mm] gar nichts konkret einsetzen, sondern -wie von leduart schon beschrieben- die jeweilige Ableitung auf [mm] $[0,\frac{1}{2}]$ [/mm] nach oben hin abschätzen.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe: Immer noch auf der Leitung :-)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Mo 11.04.2005
Autor: wetterfrosch

Hallo,
danke schon mal für die gut gemeinten Tipps, aber ich kann mit den Ideen echt nix anfangen, weil ich am Ende der Berechnung nicht weiß, was ich eigentlich noch zu tun hab, denn schließlich hab ich mit n=4 einen super Wert rausbekommen,der doch schon offensichtlich einen Fehler von nur kleiner gleich 0,01 hat.
Ich versteh nicht, warum ich jetzt beim Restterm R jetzt für y den Wert 1/2 einsetzen muss, denn ich hab doch in der arcsin-Reihe für x den Wert 1/2 eingesetzt. Ich versteh das mit dem Zwischenwert [mm] \mu [/mm] immer noch nicht, weil ich nicht weiß, was ihr eigentlich damit mir sagen wollt. :-)
Tut mit leid, dass ich mich allzu doof anstelle, aber ich rbauch noch eine bessere Erklärung.
Danke.
wetterfrosch

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe: Fehlerbetrachtung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Di 12.04.2005
Autor: leduart

Hallo Wetterfrosch
Aus deinem Profil geht nicht hervor, was du mit Mathe tust, oder davon weisst?
Offensichtlich fehlt dir der Zugang zu Fehlerabschätzungen. Was du machst, du vergleichst deine erreichten Wert mit dem aus dem Taschenrechner. Aber warum glaubst du dem? Irgendwer hat den doch so programmiert oder [mm] \pi [/mm] fest eingegeben, dass man dran glaubt! Und du hoffst einfach, dass die irgendwie sicher sind, dass ihre Zahl auf alle Stellen des Rechners genau sind.
Deine Aufgabe soll dir aber grade veranschaulichen, durch selber tun, wie man behaupten kann, dass ein Wert bis zu einer bestimmten Stelle richtig ist. Das ist für alle reellen Zahlen, die nicht rational sind wichtig, also auch z.Bsp für  [mm] \wurzel{3} [/mm] etc.
für die Taylorreihe kann man nun beweisen, dass sie einen Funktionswert beliebig gut annähert, wenn man nur n groß genug macht. Aber wie weit muß man gehen um 2 Stellen oder 10 Stellen richtig zu haben? Dazu summiert man bis n, und gibt dann an was der Rest bis unendlich ist. Natürlich kann man den nicht exakt berechnen, sonst hätte man ja den Wert der Zahl auch gleich mit unendlich vielen Stellen.
Theoretisch gibt es einen genauen Unterschied zwischen deiner rationalen Zahl und der gesuchten reellen, wenn man die Zwischenstelle [mm] \mu [/mm] kännte. Das ist [mm] R(\mu) [/mm] Aber die kennt man nicht! Deshalb kannst du nur sagen wie gross der Rest, sprich Fehler höchstens ist, indem du für [mm] \mu [/mm] den Wert einsetzest der R am größten macht. Wenn die Fkt. [mm] R(\mu) [/mm] in dem betrachteten Intervall monoton wächst, ist das richtige [mm] \mu [/mm] der Endpunkt. hier also [mm] \mu=1/2! [/mm]
In der Formel ist y der Wert, an dem du die Fkt. bestimmen willst, x der Pkt. um den du entwickelst, wo du also Funktionswert und Ableitungen kennst, hier x=0.
Du solltest dich damit vertraut machen, was die Taylorreihe tut und warum, dann kommst du besser damit zurecht. Hier noch mehr zu sagen, ohne dass ich weiss, welche Vorkenntnisse du hast lohnt wohl nicht.
Ich hoff, mein länglicher Erklärungsversuch hilft dir nicht nur hier
Gruss leduart


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