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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Taylorreihe tanh(x)
Taylorreihe tanh(x) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Taylorreihe tanh(x): Hinweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Di 19.05.2015
Autor: Killercat

Guten Abend,

ich habe eine kurze Frage, zur Taylorreihe von tanh(z).
Es geht im konkreten um folgendes:
[mm]f(z)= tanh(z) f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty} [/mm]
Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe [mm]\sum_ {n=0}^{\infty} \frac {z^n} {n!} f^{(n)}(0) [/mm]?
Okay, Ableitungen habe ich bestimmt, und kann bekannte Formeln nur bestätigen:
[mm] \frac {d^n} {dz^n} tanh (z) = \frac {2^{n+1} e^{2z}} {(1+e^{2^{n+1}})^{n+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k e^{2kz}[/mm] wobei [mm] A_m_,_k [/mm] die Euler Zahlen sein sollen.
Ab hier weiß ich nicht wirklich weiter, weil setz ich jetzt 0 ein, dann fällt bis auf [mm] \sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k [/mm] alles weg.
Vielleicht habe ich einfach nur zwecks vergangener Zeit seit der letzten taylorreihe einen Fehler in der Matrix, aber ich kriege einfach keine vernünftige Reihe daraus gebastelt.

Danke

        
Bezug
Taylorreihe tanh(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Di 19.05.2015
Autor: MathePower

Hallo Killercat,

> Guten Abend,
>  
> ich habe eine kurze Frage, zur Taylorreihe von tanh(z).
>  Es geht im konkreten um folgendes:
>  [mm]f(z)= tanh(z) f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty}[/mm]
>  
> Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe [mm]\sum_ {n=0}^{\infty} \frac {z^n} {n!} f^{(n)}(0) [/mm]?
>  
> Okay, Ableitungen habe ich bestimmt, und kann bekannte
> Formeln nur bestätigen:
>  [mm]\frac {d^n} {dz^n} tanh (z) = \frac {2^{n+1} e^{2z}} {(1+e^{2^{n+1}})^{n+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k e^{2kz}[/mm]


Das soll doch so lauten:

[mm]\frac {d^n} {dz^n} tanh (z) = \frac {2^{n+1} e^{2z}} {(1+e^{2\blue{z}})^{n+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k e^{2kz}[/mm]


> wobei [mm]A_m_,_k[/mm] die Euler Zahlen sein sollen.
>  Ab hier weiß ich nicht wirklich weiter, weil setz ich
> jetzt 0 ein, dann fällt bis auf [mm]\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k[/mm]
> alles weg.
>  Vielleicht habe ich einfach nur zwecks vergangener Zeit
> seit der letzten taylorreihe einen Fehler in der Matrix,
> aber ich kriege einfach keine vernünftige Reihe daraus
> gebastelt.
>  

Das ist auch richtg so, denn Du berechnest
doch den Wert der Ableitung an der Stelle z=0.

Setze dies dann in die Taylorreihe [mm]\sum_ {n=0}^{\infty} \frac {z^n} {n!} f^{(n)}(0) [/mm] ein.

Dann erhältst Du eine vernünftige Reihe.


> Danke


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe tanh(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Di 19.05.2015
Autor: Killercat

Danke für deine Antwort erstmal.

Ist die Taylorreihe auf [mm]\mathbb {C}[/mm] denn nicht eindeutig? Weil das, was dann daraus kommt hat auf den ersten Blick wenig mit der mir bekannten Taylordarstellung zu tun.

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe tanh(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:40 Mi 20.05.2015
Autor: Killercat

Frage beantwortet, danke :)

Bezug
        
Bezug
Taylorreihe tanh(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Mi 20.05.2015
Autor: fred97

Du sollst doch nur den Konvergenzradius der Potenzreihenentwicklung von [mm] f(z)=\tanh(z) [/mm] um 0 berechnen.

f ist auf [mm] \IC [/mm] meromorph. Bestimme zunächst die Menge $P$ der Pole von f. Dann ist f auf [mm] $\IC \setminus [/mm] P$ holomorph. Beachte $ 0 [mm] \notin [/mm] P$ !.

Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe  $ [mm] \sum_ {n=0}^{\infty} \frac [/mm] { [mm] f^{(n)}(0) [/mm] } [mm] {n!}z^n$. [/mm]

Der Satz über die Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen sagt nun:

  [mm] $R=\max \{r>0: \{z \in \IC:|z|
Es ist also

   $R= [mm] \min \{|a|: a \in P\}.$ [/mm]

Zu Deiner Kontrolle: [mm] $R=\bruch{\pi}{2}$ [/mm]

FRED


  

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe tanh(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Mi 20.05.2015
Autor: Killercat

Okay, den Satz kannte ich noch nicht. Aber dann danke für den Hinweis.

Danke und liebe grüße

Bezug
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