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Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeit
Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Teilbarkeit: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Mo 20.10.2014
Autor: capri

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

$ 4501770 [mm] \left| n^9^7-n $ Hallo, als erstes habe ich 4501770 zerlegt in: $ 4501770 = 2*3*5*7*13*17*97 $ Da $ 4501770 = 2*3*5*7*13*17*97 $ gilt ist die Behauptung gleichbedeutend mit $ n^9^7 \equiv n \quad mod \quad p $ für $ p = 2,3,5,7,13,17,97 $ wie gehe ich nun die verschiedene Fälle durch? p = 2, Dies folgt daraus, dass n^9^7 und n entweder beide gerade oder beide ungerade sind. ist das richtig? p = 3, ? bei p=2 war es noch okay (falls es richtig ist) , aber zu den anderen Fällen fällt mir nichts ein. gibt es auch andere Möglichkeiten es zu zeigen? LG [/mm]
        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mo 20.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]4501770 \left| n^9^7-n[/mm]
>  Hallo,
>  als erstes habe ich 4501770 zerlegt in:
>  
> [mm]4501770 = 2*3*5*7*13*17*97[/mm]
>  
> Da [mm]4501770 = 2*3*5*7*13*17*97[/mm] gilt  ist die Behauptung
> gleichbedeutend mit
>  
> [mm]n^9^7 \equiv n \quad mod \quad p[/mm]
>  
> für [mm]p = 2,3,5,7,13,17,97[/mm]
>  
> wie gehe ich nun die verschiedene Fälle durch?
>  
> p = 2, Dies folgt daraus, dass [mm]n^9^7[/mm] und n entweder beide
> gerade oder beide ungerade sind.
>  ist das richtig?

ja, wäre es.

Ich würde mir aber mal folgendes angucken:

    [mm] $n^{97}-n=n*(n^{96}-1)=n*(n^{48}+1)*(n^{48}-1)=n*(n^{48}+1)*(n^{24}+1)*(n^{24}-1)$ [/mm]

    [mm] $=\ldots=n*(n^{48}+1)*(n^{24}+1)*(n^{12}+1)*(n^{6}+1)*(n^{3}+1)*(n^{3}-1)$ [/mm]

Vielleicht kann man ja mit diesen Faktoren argumentieren...?

Übrigens, wenn man gar keine Idee haben sollte: Im schlimmsten Falle
kann man auch Induktion probieren...

Gruß,
  Marcel

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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:44 Di 21.10.2014
Autor: capri

Hallo,
leider verstehe ich nicht warum du es so gemacht hast, kannst du es erläutern?
wenn ich es so machen würde wie ich angefangen habe:

p = 3, falls n  [mm] \equiv [/mm] 0 mod 3 gilt trivialerweise $ [mm] n^9^7 \equiv [/mm] $ n mod 3 .
Wir können also $ n [mm] \not \equiv [/mm] $ 0 mod 3 voraussetzen.

p = 7, wie in p=3, ist der Fall n [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7 trivial. Für  n [mm] \not \equiv [/mm] 0 mod 7 folgt $ [mm] n^9^7 [/mm] $  [mm] \equiv [/mm] mod 7

falls das richtig ist, wie mache ich es in p=5,13,17,97?


LG

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Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Di 21.10.2014
Autor: reverend

Hallo capri,

die wesentliche Reduktion der Aufgabe hast Du schon geleistet.
Alles, was Du noch brauchst, ist der "kleine Fermat": Für [mm] p\in\IP [/mm] und [mm] \ggT{(n,p)}=1 [/mm] gilt [mm] n^{p-1}\equiv 1\bmod{p}. [/mm]

Außerdem gilt dann auch [mm] n^k\equiv n\bmod{p}\quad\gdw\quad n^{k-1}\equiv 1\bmod{p}. [/mm]

Damit sind alle auftretenden Kongruenzen leicht zu zeigen, da ja für alle auftretenden p gilt: (p-1)|96.

Grüße
reverend

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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Di 21.10.2014
Autor: capri

Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.

$ [mm] n^{p-1}\equiv 1\bmod{p}. [/mm] $

d.h. bei p = 5 gilt:


$ [mm] n^{4}\equiv 1\bmod{5}. [/mm] $
und das wärst zu p=5? oder muss man noch was ergänzen?
und bei den anderen p´s wäre es genauso. Mir fehlt aber noch warum ist es denn so? :S also ok das ist zwar der kleine Fermat aber zu der Lösung muss ich doch bestimmt noch was aufschreiben oder nicht?
oder reicht das?


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Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Di 21.10.2014
Autor: MacMath


> Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort.
>  
> [mm]n^{p-1}\equiv 1\bmod{p}.[/mm]
>  
> d.h. bei p = 5 gilt:
>  
>
> [mm]n^{4}\equiv 1\bmod{5}.[/mm]
>  und das wärst zu p=5? oder muss
> man noch was ergänzen?

Wegen [mm] $n^{4}\equiv 1\bmod{5}$ [/mm] gilt auch
[mm] $n^{96}\equiv 1\bmod{5}$, [/mm] denn [mm] $n^{96}=n^{4^{24}} [/mm]

>  und bei den anderen p´s wäre es genauso. Mir fehlt aber
> noch warum ist es denn so? :S also ok das ist zwar der
> kleine Fermat aber zu der Lösung muss ich doch bestimmt
> noch was aufschreiben oder nicht?
>  oder reicht das?

Wurde der kleiner Fermat in der Vorlesung behandelt? Dann reicht das.

Gruß
Daniel

Bezug
                                                
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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:49 Di 21.10.2014
Autor: capri

Hallo,
ja es wurde behandelt.

Ok danke, aber wie kommst du auf $ [mm] $n^{96}=n^{4^{24}}$ [/mm] $ ?


LG

Bezug
                                                        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Di 21.10.2014
Autor: MacMath


> Ok danke, aber wie kommst du auf[mm][/mm][mm] n^{96}=n^{4^{24}}[/mm][mm][/mm] ?
>  

Mit Potenzgesetzen?

[mm] n^{96}=n^{4*24}=n^{4^{24}} [/mm]

Viele Grüße

Bezug
                                                                
Bezug
Teilbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Di 21.10.2014
Autor: MacMath

Genau darauf bezieht sich auch reverend mit der Aussage

"Damit sind alle auftretenden Kongruenzen leicht zu zeigen, da ja für alle auftretenden p gilt: (p-1)|96. "

Bezug
                                                                
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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Di 21.10.2014
Autor: capri

ok, also

für p=5 ist es jetzt erledigt. Für p=13,17,97

dann mache ich es genauso wie bei p=5, und dann bin ich fertig mit der Aufgabe?

Oder muss ich bei den anderen noch etwas ergänzen?

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Di 21.10.2014
Autor: MacMath


> ok, also
>  
> für p=5 ist es jetzt erledigt. Für p=13,17,97

Auch 13-1, 17-1 und 97-1 sind Teiler von 96. Also funktioniert das komplett analog. Für 97 ist das zu zeigende doch ganz exakt der kleine Fermat.

> dann mache ich es genauso wie bei p=5, und dann bin ich
> fertig mit der Aufgabe?

Ja. Jeder Primfaktor ist damit ein Teiler, und alle Primfaktoren kommen nur einfach vor. Das hattest du doch am Anfang schon festgestellt.

> Oder muss ich bei den anderen noch etwas ergänzen?

Nein

LG


Bezug
                                                                                
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Teilbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:04 Di 21.10.2014
Autor: capri

Ok danke :)

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