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Teilbarkeit durch 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Sa 29.10.2016
Autor: Calculu

Wenn ich die Teilbarkeit einer Zahl durch 7 prüfen will, kann ich folgende Regel anwenden:
Letzte Ziffer der Zahl streichen, allerdings merken und mit 2 multiplizeren und von der restlichen Zahl abziehen.

Beispiel:

322 -> 32-(2*2) = 28
28 ist durch 7 tb., also ist auch 322 durch 7 teilbar.

Mir ist allerdings unklar wieso dieses Verfahren funktioniert. Ich habe es mit Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten probiert aber mir will keine gescheite Erklärung einfallen.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.



        
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Sa 29.10.2016
Autor: sinnlos123

sei x, [mm] c\in \mathbb{Z} [/mm]

$x$ mod $10=a$

[mm] $b=\frac{x-a}{10}$ [/mm]

$b-(2*a)=7*c$

So würde ich einen Beweisanfang formulieren.

Möchtest/Kannst du von hier aus selber weitermachen?

Wenn es allerdings nicht stimmt, gibt es (mit hoher Wahrscheinlichkeit) auch ein kleines Gegenbeispiel (<1000)

Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:11 Sa 29.10.2016
Autor: Calculu


> sei x, [mm]c\in \mathbb{Z}[/mm]
>  
> [mm]x[/mm] mod [mm]10=a[/mm]
>  
> [mm]b=\frac{x-a}{10}[/mm]
>  
> [mm]b-(2*a)=7*c[/mm]
>  
> So würde ich einen Beweisanfang formulieren.
>  
> Möchtest/Kannst du von hier aus selber weitermachen?


Vielen Dank schonmal für deine Mühe.
Formal wird es mir so klar, denn:

[mm] \frac{x-a}{10}-(2*a)=7*c [/mm]
x-21*a=70*c
x = 21*a+70*c
x = 7*(3*a+10*c)

Setze q:=(3*a+10*c)
q [mm] \in \IZ [/mm]

x=q*7  also 7|x

Fertig.

Wenn ist dies nun aber einem Schüler (Unter- oder Mittelstufe) erklären sollte würde mir dieser Beweis nicht gefallen. Vl hat jemand noch eine anschauliche Lösung.




>  
> Wenn es allerdings nicht stimmt, gibt es (mit hoher
> Wahrscheinlichkeit) auch ein kleines Gegenbeispiel (<1000)


Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Sa 29.10.2016
Autor: sinnlos123

Also für Schüler der 8. Klasse (Mittelstufe) dürfte das, mit ein wenig Erläuterung verständlich sein.

Die Form des Beweises wird für die vermutlich neu sein, aber je früher desto besser.

Allerdings ist mir jetzt nicht klar, warum die Formel gilt, denn angenommen x ist nicht durch 7 teilbar. (anders: wähle x mit x mod [mm] 7\not=0) [/mm]

Was käme denn dann raus?

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Sa 29.10.2016
Autor: tobit09


> [mm]\frac{x-a}{10}-(2*a)=7*c[/mm]
>  x-21*a=70*c
>  x = 21*a+70*c
>  x = 7*(3*a+10*c)
>  
> Setze q:=(3*a+10*c)
> q [mm]\in \IZ[/mm]
>  
> x=q*7  also 7|x
>  
> Fertig.

Du hast überlegt: Wenn $7$ die nach dem Verfahren gebildete Zahl teilt, dann auch die ursprüngliche Zahl.

Noch zu zeigen wäre die andere Richtung: Wenn 7 die ursprüngliche Zahl teilt, teilt 7 auch die nach dem Verfahren gebildete Zahl.


> Wenn ist dies nun aber einem Schüler (Unter- oder
> Mittelstufe) erklären sollte würde mir dieser Beweis
> nicht gefallen. Vl hat jemand noch eine anschauliche
> Lösung.

Diesen Teil muss ich leider offen lassen.

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 31.10.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Sa 29.10.2016
Autor: tobit09

Hallo Calculu!


Ich orientiere mich am Wikipedia-Beweis:


Sei n die natürliche Zahl, die wir auf Teilbarkeit prüfen wollen. Sei b die letzte Stelle dieser Zahl in der Dezimaldarstellung und a die aus den übrigen Stellen gebildete Zahl.

Dann gilt $n=10*a+b$.

Dann teilt 7 die Zahl n genau dann, wenn 7 die Zahl $2n=20a+2b=21a-(a-2b)$ teilt.

Wegen $7|21a$ teilt also $7$ die Zahl n genau dann, wenn 7 die Zahl $a-2b$ teilt.


Einen für Unterstufenschüler verständlichen Beweis habe ich nicht gefunden.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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