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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Teiler in Gaußschen ganz. Zahl
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Teiler in Gaußschen ganz. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mo 14.12.2015
Autor: lucaszester

Aufgabe
Bestimmung aller Teiler von 5  bzw. von 7 in [mm] \IZ [/mm] [i] = Gaußschen ganzen Zahlen.

Also alle Teiler in [mm] \IZ [/mm] sind natürlich auch Teiler in [mm] \IZ, [/mm] aber die Zahlen haben ja sicher noch andere Teiler in [mm] \IZ[i]. [/mm] Wie kann man die bestimmen ?

        
Bezug
Teiler in Gaußschen ganz. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Mo 14.12.2015
Autor: felixf

Moin!

> Bestimmung aller Teiler von 5  bzw. von 7 in [mm]\IZ[/mm] =
> Gaußschen ganzen Zahlen.
> Also alle Teiler in [mm]\IZ[/mm] sind natürlich auch Teiler in
> [mm]\IZ,[/mm] aber die Zahlen haben ja sicher noch andere Teiler in
> [mm]\IZ[i].[/mm] Wie kann man die bestimmen ? [/i][/mm]

Verwende die Norm: $N(a + i b) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$. [/mm] Für [mm]a + i b \in \IZ[i][/mm] ist $N(a + i b) [mm] \in \IN$, [/mm] und $N$ ist multiplikativ. Damit kannst du die Normen von Elementen bestimmen, die als Teiler von 5 und 7 auftreten können. Versuche dann, alle diese Elemente zu bestimmen (es sind nicht sehr viele); dann kannst du "von Hand" prüfen, ob $5 / x$ bzw. $7 / y$ in [mm]\IZ[i][/mm] ist für potentielle Teiler $x, y$.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Teiler in Gaußschen ganz. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mo 14.12.2015
Autor: lucaszester

Okay meinst du das so ?
Also angenommen a+bi ist ein Teiler von 5 , dann ist ja (a+bi)(c+di)=5 also ist N(a+bi)N(c+di)=N(5)=25 .  Kann man ja 25 nur schreiben als 5*5 , oder 25*1 also ist N(a+bi) [mm] \in [/mm] {1,5,25} stimmt das soweit ? Aber da kommen ja dann doch relativ viele Element in Frage und für die muss man dann testen ob sie 5 teilen.

Bezug
                        
Bezug
Teiler in Gaußschen ganz. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Di 15.12.2015
Autor: felixf

Moin!

> Okay meinst du das so ?
> Also angenommen a+bi ist ein Teiler von 5 , dann ist ja
> (a+bi)(c+di)=5 also ist N(a+bi)N(c+di)=N(5)=25 .  Kann man
> ja 25 nur schreiben als 5*5 , oder 25*1 also ist N(a+bi)
> [mm]\in[/mm] {1,5,25} stimmt das soweit ?

Genau.

> Aber da kommen ja dann
> doch relativ viele Element in Frage und für die muss man
> dann testen ob sie 5 teilen.

Nein, es sind recht wenige. Es gibt vier Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$, acht Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 5$ und 16 Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 25$. Schau dir zuerst die Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$ an: das sind gerade alle Einheiten in [mm]\IZ[i][/mm]. Und jede andere Lösung ist eine von 2+4 Grundlösungen multipliziert mit einer solchen Einheit.

Es gibt also nicht sooo viele Dinge, die du anschauen musst, wenn du es etwas geschickt machst.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Teiler in Gaußschen ganz. Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 Di 15.12.2015
Autor: lucaszester

Vielen Dank . Dann werde ich  das mal versuchen.


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