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Teilfolgen: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mi 18.10.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Geben Sie Beispiele
(a) einer unbeschränkten Folge, die eine konvergente Teilfolge besitzt,
(b) einer Folge, die für alle k ∈N eine Teilfolge besitzt, die gegen k konvergiert.

Ich wäre sehr dankbar für Hilfe beim Ansatz, ich weiss nicht wie ich solche Folgen konstruieren kann
Bei b) habe ich mir überlegt, dass die Folge divergent sein müsste, da bei einer konvergenten Folge alle Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren müssten?! Aber ich komme nicht auf Beispiele.
Vielen Dank für die Hilfe

        
Bezug
Teilfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mi 18.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

zu a):

[mm] a_n:=n^{(-1)^n} [/mm]

Mache dir klar, warum das Beispiel passt, insbesondere, wie die konvergente Teilfolge aussieht.

Die b) hast du wohl falsch verstanden: es soll für jede natürliche Zahl eine Teilfolge mit dieser Zahl als Grenzwert existieren. Natürlich muss die fragliche Folge divergent sein (das ist trivial, wie man so schön sagt). Versuche es selbst und beachte zwei Dinge:

- Eine Folge muss nicht notwendigerweise eine explizite geschlossene Darstellung besitzen
- Solche Aufgaben erfordern Kreativität


Gruß, Diophant

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Teilfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mi 18.10.2017
Autor: mariella22

Die konvergente Teilfolge bei a.) wäre für n ungerade,
weil an = 1/n ist und 1/n konvergiert gegen 0
Habe ich das richtig verstanden?
Danke für die Hilfe!
Bei der b) stehe ich leider glaube ich immer noch auf dem Schlauch..

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Teilfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Mi 18.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die konvergente Teilfolge bei a.) wäre für n ungerade,
> weil an = 1/n ist und 1/n konvergiert gegen 0
>  Habe ich das richtig verstanden?

[ok]

> Danke für die Hilfe!
>  Bei der b) stehe ich leider glaube ich immer noch auf dem Schlauch..  

Kennst du die Trainingseinheit "Linienlauf"?

1.) Man beginnt bei der Grundlinie und läuft dann zu Linie 1 und zurück.

2.) Nun läuft man zu Linie 1 und zurück, dann zu Linie 2 und zurück.

3.) Nun läuft man zu Linie 1 und zurück, dann zu Linie 2 und zurück, dann zu Linie 3 und zurück…

und das so lange, bis man alle Linien einer Halle erreicht hat.
Ziemlich anstrengend :-)

Wende das Prinzip mal auf die natürlichen Zahlen an.

Gruß,
Gono



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Teilfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Do 19.10.2017
Autor: fred97

Weiteres Bsp für (a): (1,2,1,3,1,4,1,5,....)

(b): (1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,.....)

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Teilfolgen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:13 Do 19.10.2017
Autor: mariella22

Hallo, danke für euere Hilfe, aber so ganz klar ist mir das immer noch nicht.
Ich hab mir das mit dem Linienlauf aufgezeichnet, und das ist ja genau die Folge die Fred aufgeschrieben hatte.
Die erste Teilfolge konvergiert gegen 1, die zweite gegen 2 usw.
Aber wie kann ich das so umschreiben, dass ich die Schreibweise [mm] (a_n_k) [/mm] n/in N bekomme?

Bezug
                        
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Teilfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Do 19.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Aber wie kann ich das so umschreiben, dass ich die
> Schreibweise [mm](a_n_k)[/mm] n/in N bekomme?

Du meinst eine explizite Darstellung? Wie gesagt, aus der Aufgabenstellung folgt keinerlei Notwendigkeit für solch eine Darstellung, aber man könnte etwas versuchen in der Art

[mm] (a_n):=n-S(n) [/mm]

wobei der Subtrahend S(n) irgendwie mit einer Gaußklammer dazu gebracht wird, dass er an den gewünschten Stellen zur nächsten zu subtrahierenden Zahl 'überspringt'. Die sog. Dreieckszahlen spielen dabei auch eine Rolle...

Probiere doch selbst mal etwas bzw. wenn du es tust, dann gib deine eigenen Versuche hier mit an.


Gruß, Diophant

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Bezug
Teilfolgen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Sa 21.10.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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