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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Tensoren
Tensoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tensoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:49 Do 04.07.2013
Autor: petapahn

Aufgabe
Wie viele Elemente enthält der Tensor-Vektorraum V [mm] \otimes [/mm] W über endlichen Körpern, also sei z.B. [mm] V=\IF_{2}^{2}, W=\IF_{2}^{3}? [/mm]

Hallo,
Ich dachte mir, dass V [mm] \otimes [/mm] W ja durch die elementaren Tensoren erzeugt wird, das müssten dann [mm] 2^2*2^3=2^{2+3}= 2^5=32 [/mm] sein. Und dann gibt es ja noch die Tensoren, die durch Summen der elementaren Tensoren entstehen. Aber ich weiß nicht, wie ich rausfinden soll, wieviele das sind :(
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke und viele Grüße,
petapahn

        
Bezug
Tensoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Do 04.07.2013
Autor: sometree

Hallo petapahn ,

> Wie viele Elemente enthält der Tensor-Vektorraum V [mm]\otimes[/mm]
> W über endlichen Körpern, also sei z.B. [mm]V=\IF_{2}^{2}, W=\IF_{2}^{3}?[/mm]
>  
> Hallo,
>  Ich dachte mir, dass V [mm]\otimes[/mm] W ja durch die elementaren
> Tensoren erzeugt wird, das müssten dann [mm]2^2*2^3=2^{2+3}= 2^5=32[/mm]

richtig.
Es gilt ja allgemein [mm] $dim_K (V\otimes_KW) =dim_k(V)\cdot dim_K(W)$ [/mm]

> sein. Und dann gibt es ja noch die Tensoren, die durch
> Summen der elementaren Tensoren entstehen. Aber ich weiß
> nicht, wie ich rausfinden soll, wieviele das sind :(

Die Summen der elementaren Tensoren liegen alle im Erzeugnis, es ergibt sich sogar das gesamte Erzeugnis.

>  Kann mir jemand weiterhelfen?
>  Danke und viele Grüße,
>  petapahn

Edit: Aufgrund massiver Schwammigkeit bis Falschheit ist es sinnvoller sich ein felixf's Mitteilung zu halten.

Bezug
                
Bezug
Tensoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:10 Do 04.07.2013
Autor: felixf

Moin!

>  >  Ich dachte mir, dass V [mm]\otimes[/mm] W ja durch die
> > elementaren
> > Tensoren erzeugt wird, das müssten dann [mm]2^2*2^3=2^{2+3}= 2^5=32[/mm]
> richtig.

Das ist die Anzahl der elementaren Tensoren, nicht die Anzahl der Elemente im Tensorprodukt.

>  Es gilt ja allgemein [mm]dim_K (V\otimes_KW) =dim_k(V)\cdot dim_K(W)[/mm]

Damit bekommt man dann, dass $V [mm] \otimes [/mm] W$ hier $64 = [mm] 2^{2 \cdot 3}$ [/mm] Elemente enthaelt.

> > sein. Und dann gibt es ja noch die Tensoren, die durch
> > Summen der elementaren Tensoren entstehen. Aber ich weiß
> > nicht, wie ich rausfinden soll, wieviele das sind :(
>  Die Summen der elementaren Tensoren liegen alle im
> Erzeugnis, es ergibt sich sogar das gesamte Erzeugnis.

Ja, die Anzahl der Elemente im Erzeugnis ist aber nicht [mm] $2^2 \cdot 2^3$ [/mm] :-)

LG Felix


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