matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesTensoren und Multilinearformen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Tensoren und Multilinearformen
Tensoren und Multilinearformen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Tensoren und Multilinearformen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:39 Di 18.08.2015
Autor: phychem

Hallo allerseits

Ich bin gerade dabei, mich im Rahmen der Linearen Algebra in die Theorie der Tensoren und die multilineare Algebra einzulesen. Dabei bin ich auf folgende  Frage gestossen:

Aus der Universaldefinition des Tensorprodukts folgt ja unter anderem, dass der Dualraum des Tensorprodukts V [mm] \otimes [/mm] W zweier K-Vektorräume V und W isomorph zum Raum aller Bilinearformen [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] ist. Bzw. allgemeiner ist der Dualraum des Tensorprodukts [mm] V_{1} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes V_{s} [/mm] mehrerer K-Vektorräume [mm] V_{1},...,V_{s} [/mm] isomorph zum Raum aller Multilinearformen [mm] L_{s}(V_{1},...,V_{s};K): [/mm]

[mm] Dual(V_{1} \otimes [/mm] ... [mm] \otimes V_{s}) \cong L_{s}(V_{1},...,V_{s};K) [/mm]

Man kann diese beiden Räume auf kanonische Weise miteinander identifizieren, siehe:
[]wiki-link


Nun zu meiner Frage:
Warum identifiziert man das Tensorprodukt nicht einfach mit dem entsprechenden Raum der Multilinearformen? Im Fall einfachsten Fall: Warum identifiziert man V [mm] \otimes [/mm] W nicht einfach mit [mm] L_{2}(V,W;K)? [/mm]  Dies wäre doch eine äusserst einfache und praktische Interpreation des Tensorprodukts. Warum macht man das nicht?

Ich glaube bereits eine Antwort auf diese Frage gefunden zu haben, bin mir aber nicht sicher, ob meine Überlegungen korrekt sind:

Sollten V und W endlichdimensional sein, so kann man V [mm] \otimes [/mm] W wohl tatsächlich mit [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] identifizieren können. Immerhin besitzen ja beide die Dimension dim(V)dim(W) und sind damit isomorph. Der Grund, weshalb man dies nicht allgemein macht, liegt wohl am unendlichdimensionalen Fall:
Sei [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] eine Basis von V und [mm] (w_{j})_{j \in J } [/mm] eine Basis von W.  Man definiere folgende Bilinearformen (Bilinearformen sind bekanntlich durch das Bild von [mm] (v_{i},w_{j})_{(i,j) \in I \times J} [/mm] bereits wohldefiniert):

[mm] f_{ij}: [/mm] V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K  mit [mm] f_{ij}(v_{i',j'})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i'=i \mbox{ und } j'=j \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]

Nach der klassischen "Konstruktion" von V [mm] \otimes [/mm] W steht die Familie [mm] (f_{ij})_{(i,j) \in I \times J} [/mm] gerade für eine Basis von V [mm] \otimes [/mm] W; [mm] f_{ij} [/mm] kann quasi als [mm] v_i \otimes w_j [/mm] verstanden werden. Mit "klassischer Konstruktion" meine ich die Identifizierung von V [mm] \otimes [/mm] W mit
{f: I [mm] \times [/mm] J [mm] \to [/mm] K: f(i,j) [mm] \not= [/mm] 0 für nur endlich viele (i,j) [mm] \in [/mm] I [mm] \times [/mm] J}
bzw. noch besser: Der Menge aller Bilinearformen V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K, die nur endlich viele [mm] (v_i,w_j) [/mm] auf von 0 verschieden Werte abbilden.

ABER [mm] (f_{ij})_{(i,j) \in I \times J} [/mm] bildet keine Basis bzw. kein Erzeugendensystem von [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] wenn I oder J unendlich ist. Denn es gibt dann Bilinearformen, die sich unmöglich als (endliche) Linearkombination von [mm] f_{ij} [/mm] schreiben lassen. Nämlich diejenigen, die unendlich viele [mm] (v_i,w_j) [/mm] auf von 0 verschiedene Werte abbilden.

Ist das so richtig? Das scheint mir die einzig logische Erklärung zu sein, weshalb man zwischen V [mm] \otimes [/mm] W und [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] unterscheidet.  V [mm] \otimes [/mm] W wäre gemäss meiner obigen Interpretation ein Unterraum von [mm] L_{2}(V,W;K), [/mm] der im Fall, dass V oder/und W unendlichdimensional ist, verschieden von  [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] ist.

Ich habe leider nirgends eine Antwort auf diese Frage gefunden...ich glaub zwar, der folgende Wiki-Artikel Abschnitt will genau diese Unterscheidung zwischen V [mm] \otimes [/mm] W und [mm] L_{2}(V,W;K) [/mm] erklären, aber ich verstehe einfach nicht, auf was der Autor genau hinaus will:
[]wiki-link
Kann mir das jemand erklären? Will der Autor einfach sagen, dass man ein Tensorprodukt aus drei Vektorräumen nicht durch einen Raum von Bilinearformen ausdrücken kann?

Gruss phychem


        
Bezug
Tensoren und Multilinearformen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Do 20.08.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]