matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteTrägheitssatz von sylvester
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Trägheitssatz von sylvester
Trägheitssatz von sylvester < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trägheitssatz von sylvester: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mo 10.09.2007
Autor: pusteblume86

Träghessatz von Sylvester(nach unserem Script)

Jede invertierbare symmetrische Matrix [mm] B\in M_n(\IR) [/mm] ist zu Diagonalmatrix verwandt, deren ersten t Diagonaleinträge 1 und n-t Diagonaleinträge -1 sind.

Wie bekomme ich diesen Trägheitsindex heraus?
Also was ich weiß, dass man eigentlich nur die Anzahl der positiven und die Anzahl der negativen Eigenwerte berechnet und dann mit "Anzahl der negativen"-"Anzahl der positiven" den Träghetsindex bestimmt.
Aber:

Mir ist gerade nicht ganz klar, warum mir das dann auch schon sagen soll, dass die einträge dann auch 1 und -1 sind und nicht zum beispiel einfach die eigenwerte.

Kann mir da jemand helfen?

Verwandt bedeutet ja folgendes A,B verwandt: dann existiert ein S in $ [mm] Gl_n(K) [/mm] $ , so, dass B = S^tAS

Hat es damit etwas zu tun??


        
Bezug
Trägheitssatz von sylvester: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Di 11.09.2007
Autor: angela.h.b.

  
> Träghessatz von Sylvester(nach unserem Script)
>  
> Jede invertierbare symmetrische Matrix [mm]B\in M_n(\IR)[/mm] ist zu
> Diagonalmatrix verwandt, deren ersten t Diagonaleinträge 1
> und n-t Diagonaleinträge -1 sind.
>  
> Wie bekomme ich diesen Trägheitsindex heraus?

Hallo,

soweit ich weiß, ist ja der Trägheitsindex die Differenz zwischen den Anzahlen der positiven und negativen Eigenwerte.

Wenn die symmetrische Matrix nicht invertierbar ist, hat sie keine Eigenwerte, welche =0 sind.  (Warum eigentlich?)

Sind t Eigenwerte >0, so kann es doch nicht anders sein, als daß der Trägheitsindex= Anz.pos. - Anz.neg =t - (n-t)=2t-n ist.

>  Also was ich weiß, dass man eigentlich nur die Anzahl der
> positiven und die Anzahl der negativen Eigenwerte berechnet
> und dann mit "Anzahl der negativen"-"Anzahl der positiven"
> den Träghetsindex bestimmt.

Genau.

>  Aber:
>
> Mir ist gerade nicht ganz klar, warum mir das dann auch
> schon sagen soll, dass die einträge dann auch 1 und -1 sind
> und nicht zum beispiel einfach die eigenwerte.

Dein Satz oben sagt ja nur, daß Du die symmetrische Matrix A so zurechtbiegen kannst durch T^TAT, daß sie auf der Diagonalen nur [mm] \pm [/mm] 1 hat.

Wie geht das? Wenn die Matrix A symmetrisch ist mit Eigenwerten [mm] \lambda_1,...,\lambda_n, [/mm] finden wir eine orthogonale Matrix B so, daß

[mm] diag(\lambda_1,...,\lambda_n)=B^{-1}AB. [/mm]

Ist A invertierbar, so sind die [mm] \lambda_i\not=0, [/mm] und man kann folgendes tun:

[mm] diag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1})B^{-1}ABdiag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1}) [/mm] =
[mm] diag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1})diag(\lambda_1,...,\lambda_n)diag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1}) =diag(\lambda_1/|\lambda_1|,...,\lambda_n/|\lambda_n| [/mm]

Hier ist dann mit [mm] T:=Bdiag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1}) [/mm] die Situation Deines Satzes hergestellt.

Gruß v. Angela

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]