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Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:11 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Aufgabe
Folgende Aussage sei gegeben:

Wenn $ x [mm] \ge [/mm] 4 $, dann $ [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] $

Während der induktiven Beweisführung werde folgende Aussage getroffen:

Für x = 4:

$ [mm] 2^4 [/mm] = 16 [mm] \ge 4^2 [/mm] = 16 $

Für x [mm] \to [/mm] x+1:

$ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $

Es sei:
$ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

und:
$ 2 * [mm] 2^x \ge (x+1)^2 [/mm] $

Folglich ist wegen der Transitivität
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $

Hallo,

ich verstehe nicht so ganz, wie man die Transitivität hier erkennen soll.

Die Aussage

$ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ für x [mm] \to [/mm] x+1 leitet sich ja aus der Aufgabenstellung ab

$ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ erhält man, wenn man beide Seiten der ursprünglichen Ungleichung mit 2 Multipliziert

Jetzt ist  $ [mm] 2^{x+1} [/mm] = 2 * [mm] 2^x [/mm] $

Woher weiß ich, dass die Transititve Abhängigkeit

$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $ lauten muss und nicht etwa $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

lg
magics

        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Folgende Aussage sei gegeben:
>  
> Wenn [mm]x \ge 4 [/mm], dann [mm]2^x \ge x^2[/mm]
>  
> Während der induktiven Beweisführung

Aha, dann ist also x [mm] \in \IN. [/mm]




> werde folgende
> Aussage getroffen:
>  
> Für x = 4:
>  
> [mm]2^4 = 16 \ge 4^2 = 16[/mm]

Das ist der Induktionsanfang.


>  
> Für x [mm]\to[/mm] x+1:
>  
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm]
>  
> Es sei:
>  [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm]

Was heißt "Es sei" ???  

Die Induktionsvoraussetzung lautet: für ein x [mm] \in \IN [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 4 gelte [mm] 2^x \ge x^2. [/mm]

Unter dieser Vor. ist dann zu zeigen:

  [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2. [/mm]



>  
> und:
>  [mm]2 * 2^x \ge (x+1)^2[/mm]


Das ist zu zeigen !


>  
> Folglich ist wegen der Transitivität
>  [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich verstehe nicht so ganz, wie man die Transitivität hier
> erkennen soll.
>  
> Die Aussage
>
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] für x [mm]\to[/mm] x+1 leitet sich ja aus der
> Aufgabenstellung ab
>  
> [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm] erhält man, wenn man beide Seiten der
> ursprünglichen Ungleichung mit 2 Multipliziert

Na ja. Man bekommt das, wenn man die Induktionsvor. [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] mit 2 multipliziert.


>  
> Jetzt ist  [mm]2^{x+1} = 2 * 2^x[/mm]
>  
> Woher weiß ich, dass die Transititve Abhängigkeit
>  
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm] lauten muss und nicht etwa
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm]


[mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]  ist richtig,

aber

[mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm] ist falsch.



Nach Induktionsvoraussetzung haben wir: [mm] 2^x \ge x^2 [/mm]

Dahin wollen wir: [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2. [/mm]

Aus der Ind. Vor. folgt

     [mm] 2^{x+1} \ge 2x^2. [/mm]

Wenn man sich nun von der Richtigkeit der Ungleichung

     [mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4

überzeugen kann, ist man fertig.

Es fehlt also noch:

      [mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4.

Das kann man so erledigen (für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4):

     [mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 \gdw 2x^2 \ge x^2+2x+1 \gdw x^2 \ge [/mm] 2x+1  [mm] \gdw x^2-2x+1 \ge [/mm] 2  [mm] \gdw (x-1)^2 \ge [/mm] 2.

Ist nun [mm] (x-1)^2 \ge [/mm] 2 richtig ?

Ja, denn für x [mm] \ge [/mm] 4 ist x-1 [mm] \ge [/mm] 3. Damit haben wir sogar [mm] (x-1)^2 \ge [/mm] 9.

FRED

>  
> lg
>  magics


Bezug
                
Bezug
Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Ich verstehs nicht...

$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ und
$ [mm] 2^{x+1} \ge 2^{x+1} [/mm] $

Ist doch wie

A [mm] \ge [/mm] B
A [mm] \ge [/mm] C

Dann kann B [mm] \ge [/mm] C oder auch B [mm] \le [/mm] C sein...



Bezug
                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Ich verstehs nicht...
>  
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
>  [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
>  
> Ist doch wie
>  
> A [mm]\ge[/mm] B
>  A [mm]\ge[/mm] C
>  
> Dann kann B [mm]\ge[/mm] C oder auch B [mm]\le[/mm] C sein...

Ja, aber was willst Du damit sagen ? Ich hab Dir oben die Aufgabe komplett(!) vorgemacht. Was verstehst Du nicht ?

FREd

>
>  


Bezug
                                
Bezug
Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Ok, also:

Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir

$ [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] $ und $ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $,

die beide das gleiche beschreiben.

Jetzt kann man $ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ aus der Induktionsvoraussetzung auch als $ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ schreiben.

Wir haben jetzt also einmal aus der Induktionsvoraussetzung:
(I) $ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

und einmal aus dem Induktionsschritt:
(II) $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ (was wir ja beweisen wollen)

Nun stelle ich mir (I) und (II) zusammengefasst so vor:
$ [mm] (x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $

$ [mm] (x+1)^2 [/mm] $ muss also "kleiner-gleich allem sein, was rechts steht" oder eben "kleiner-gleich allem, was links steht", also:
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $


Ich dürfte also NICHT stattdessen schreiben,
$ 2 * [mm] x^2 \le 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge [/mm] 2 * [mm] x^2$, [/mm]
weil?



Bezug
                                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Fr 24.07.2015
Autor: tobit09

Hallo magics!



> Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
>  
> [mm]2^x \ge x^2[/mm] und [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2 [/mm],
>  
> die beide das gleiche beschreiben.

Ja.


> Jetzt kann man [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm] aus der
> Induktionsvoraussetzung auch als [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
> schreiben.

Ja.


> Wir haben jetzt also einmal aus der
> Induktionsvoraussetzung:
>  (I) [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
>  
> und einmal aus dem Induktionsschritt:
>  (II) [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] (was wir ja beweisen wollen)

Ja. (I) dürfen wir voraussetzen, (II) wollen wir beweisen.


> Nun stelle ich mir (I) und (II) zusammengefasst so vor:
>  [mm](x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]

Ein Mischmasch aus Vorausgesetztem und zu Zeigendem erscheint mir nicht sonderlich sinnvoll...


> [mm](x+1)^2[/mm] muss also "kleiner-gleich allem sein, was rechts
> steht"

Unter

      [mm] "$(x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2$" [/mm]

verstehe ich die Aussage

      [mm] "$(x+1)^2\le 2^{x+1}$ [/mm] und [mm] $2^{x+1}\ge 2*x^2$". [/mm]


> oder eben "kleiner-gleich allem, was links steht",
> also:
>  [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]

Das ist zwar nicht die gleiche Aussage, aber tatsächlich gilt sie, wie Fred bewiesen hat.

Aus der Transitivität von [mm] $\ge$ [/mm] folgt somit wie gewünscht (II).


> Ich dürfte also NICHT stattdessen schreiben,
>  [mm]2 * x^2 \le 2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] [mm]\gdw[/mm]  [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm],
>  
> weil?

Es gilt anstelle deines [mm] $\gdw$ [/mm] zwar [mm] $\Leftarrow$, [/mm] aber im Allgemeinen nicht [mm] $\Rightarrow$, [/mm] wie du dir z.B. am Beispiel $x=4$ überlegen kannst.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Transitivität: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Fr 24.07.2015
Autor: magics

Trotzdem auf jeden Fall vielen Dank für deine Antwort! Ich denke ich komme dahinter, wenn ich noch ein paar Beispiele rechne.

lg
magics

Bezug
                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Fr 24.07.2015
Autor: tobit09


> Ich verstehs nicht...
>  
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
>  [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
>  
> Ist doch wie
>  
> A [mm]\ge[/mm] B
>  A [mm]\ge[/mm] C
>  
> Dann kann B [mm]\ge[/mm] C oder auch B [mm]\le[/mm] C sein...

Im Allgemeinen ja.

Im obiger Situation mit [mm] $A=2^{x+1}$, [/mm] $B=2 * [mm] x^2$ [/mm] und [mm] $C=2^{x+1}$ [/mm] ist jedoch zusätzlich $C=A$.
Also haben wir [mm] $C=A\ge [/mm] B$ und somit [mm] $C\ge [/mm] B$.


Alternative Erklärung:

Aus

> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
>  [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]

folgt direkt und ohne deine "A,B,C-Überlegung" die Ungleichung [mm] $2^{x+1}\ge2*x^2$. [/mm]


Noch eine andere Erklärung:

[mm] $2^{x+1}\ge 2^{x+1}$ [/mm] ist keine wahnsinnig tiefsinnige Erkenntnis.
Freds Beweis kommt völlig ohne sie aus.

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