matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationTrapez-Regel
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integration" - Trapez-Regel
Trapez-Regel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trapez-Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:30 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zu einem Beweis eines Corollares der Trapez-Regel, die da lautet:

Trapez-Regel:
Sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist

[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (f(0) - f(1)) - R

wobei R = [mm] \frac{1}{2} \integral_{0}^{1}{x(1-x) f''(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{12} f''(\xi) [/mm]

für ein [mm] \xi \in [/mm] [0,1].


Das Corollar lautet wie folgt: Es sei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und

K:= [mm] sup\{|f''(x)| : x \in [a,b] \} [/mm]

Sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und h := [mm] \frac{b-a}{n}. [/mm] Dann gilt

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] (\frac{1}{2} [/mm] f(a) + [mm] \summe_{v=1}^{n-1} [/mm] f(a+vh) + [mm] \frac{1}{2} [/mm] f(b)) * h + R

mit |R| [mm] \le \frac{K}{12} [/mm] (b-a) [mm] h^{2}. [/mm]

Beweis: .

Durch Variablentransformation erhält man aus dem Satz der Trapez-Regel:

[mm] \integral_{a+vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{h}{2}(f(a+vh) [/mm] + f(a+(v+1)h)) - [mm] \frac{h^{3}}{12} f''(\xi) [/mm]

mit [mm] \xi \in [/mm] [a+vh, a+(v+1)h]

Summation über v ergibt die Behauptung.

------------------

Meine Frage nun: Wieso kann man hier auf die Trapez-Regel zurückgreifen, die ja nur für das Intervall [0,1] gilt?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eine Antwort und Erklärung! :-)

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Trapez-Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 So 09.07.2017
Autor: chrisno

Ersetze das Wort Variablentransformation durch Substitution.
Erinnere Dich, dass bei der Substitution auch die Grenzen geändert werden.

Bezug
                
Bezug
Trapez-Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hi chrisno,

Danke für den Denkanstoß.

Aber es müsste in dem Fall doch h = 1 gelten, wenn a + vh = 0 sein soll und a+(v+1)h = 1, sodass im Endeffekt das Integral von 0 bis 1 geht und

[mm] \xi \in [/mm] [0,1] ist, wie in der Trapez-Regel bestimmt.


Wie würde die Substitution aussehen, da komme ich nicht drauf.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Trapez-Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 So 09.07.2017
Autor: chrisno

Ich habe es nicht komplett nachgerechnet, aber fang mal so an:

[mm] $\int_0^1 [/mm] f(a+(v+th))h dt = [mm] \ldots$ [/mm]
Also ist [mm] $\varphi(t) [/mm] = a+(v+th)$.

Bezug
                                
Bezug
Trapez-Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:34 Mo 10.07.2017
Autor: X3nion

Hallo chrisno,

nun bin ich durch Substitution auf die Bedingungen gekommen:

Sei [mm] \phi(t) [/mm] = a + (v+t)h, => [mm] \phi'(t) [/mm] = h


Damit ist [mm] \integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(\phi(t)) * \phi'(t)} [/mm] = [mm] \integral_{\phi(0)}^{\phi(1)}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm]

Ferner ist, da [mm] \phi'(t) [/mm] = h konstant, [mm] [f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)]' [/mm] = [mm] f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] = [mm] f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{2} [/mm]

und weiter [mm] [f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{2}]' [/mm] = [mm] f''(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{3} [/mm] = f''(a+(v+t)h) * [mm] h^{3} [/mm]

Und deshalb gemäß der Trapez-Regel:

[mm] \integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] [h * f(a + vh) + h* f(a + (v+1)h)] - [mm] \frac{h^{3}}{12} [/mm] * [mm] f''(\xi) [/mm] = [mm] \frac{h}{2} [/mm] [ f(a + vh) + f(a + (v+1)h)] - [mm] \frac{h^{3}}{12} [/mm] * [mm] f''(\xi) [/mm]

mit einem [mm] \xi \in [/mm] [a + vh, a + (v+1)h]



Was ich nun noch nicht ganz verstanden habe bzw. wo ich mir noch nicht ganz sicher bin:

Die Trapez-Regel besagt, dass wenn f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dass dann

[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [f(0) + f(1)] - R,

mit R = [mm] \frac{1}{12} f''(\xi) [/mm]

mit einem [mm] \xi \in [/mm] [0,1] ist.


Frage: Wieso kann man die Trapez-Regel auf die Funktion h * f(a + (v+t)h) = [mm] f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] anwenden? Ist dann halt die Funktion, ich nenne sie jetzt einfach mal g(t) =  h * f(a + (v+t)h) = [mm] f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] die zweimal stetig differenzierbare Funktion?



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Trapez-Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:11 Mo 10.07.2017
Autor: fred97


> Hallo chrisno,
>  
> nun bin ich durch Substitution auf die Bedingungen
> gekommen:
>  
> Sei [mm]\phi(t)[/mm] = a + (v+t)h, => [mm]\phi'(t)[/mm] = h
>  
>
> Damit ist [mm]\integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(\phi(t)) * \phi'(t)}[/mm] =
> [mm]\integral_{\phi(0)}^{\phi(1)}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx}[/mm]
>
> Ferner ist, da [mm]\phi'(t)[/mm] = h konstant, [mm][f(\phi(t))[/mm] *
> [mm]\phi'(t)]'[/mm] = [mm]f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] =
> [mm]f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)^{2}[/mm]
>
> und weiter [mm][f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)^{2}]'[/mm] = [mm]f''(\phi(t))[/mm] *
> [mm]\phi'(t)^{3}[/mm] = f''(a+(v+t)h) * [mm]h^{3}[/mm]
>  
> Und deshalb gemäß der Trapez-Regel:
>  
> [mm]\integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] [h *
> f(a + vh) + h* f(a + (v+1)h)] - [mm]\frac{h^{3}}{12}[/mm] * [mm]f''(\xi)[/mm]
> = [mm]\frac{h}{2}[/mm] [ f(a + vh) + f(a + (v+1)h)] -
> [mm]\frac{h^{3}}{12}[/mm] * [mm]f''(\xi)[/mm]
>  
> mit einem [mm]\xi \in[/mm] [a + vh, a + (v+1)h]
>  
>
>
> Was ich nun noch nicht ganz verstanden habe bzw. wo ich mir
> noch nicht ganz sicher bin:
>  
> Die Trapez-Regel besagt, dass wenn f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine
> zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dass dann
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [f(0) + f(1)] -
> R,
>  
> mit R = [mm]\frac{1}{12} f''(\xi)[/mm]
>  
> mit einem [mm]\xi \in[/mm] [0,1] ist.
>  
>
> Frage: Wieso kann man die Trapez-Regel auf die Funktion h *
> f(a + (v+t)h) = [mm]f(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] anwenden? Ist dann
> halt die Funktion, ich nenne sie jetzt einfach mal g(t) =  
> h * f(a + (v+t)h) = [mm]f(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] die zweimal
> stetig differenzierbare Funktion?
>  

Ja, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist, dann  auch g.


>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                                
Bezug
Trapez-Regel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Sa 15.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen, nun ist mir alles klar!

VG X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]