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| Aufgabe | 1) [mm] I=\integral_{0}^{8}{(1/(2* \wurzel{1+x}))dx}
[/mm]
a) Berechnen Sie mit der Trapezregel die Näherungswerte [mm] T_{2} [/mm] und [mm] T_{4} [/mm] für I. (auf 3 Stellen nach dem Komma)
b) Bestimmen Sie mit der Fehlerformel zur Trapezregel eine Teilzahl n, für welche die Trapezregel [mm] T_{n} [/mm] den Wert von I auf [mm] 10^{-4} [/mm] genau berechnet. |
Hallo,
die Formel hierfür lautet doch
[mm] T_{n}:=\Delta x*((f(x_{0})/2)+f(x_{1}+f(x_{2})+...+f(x_{n-1}+(f(x_{n})/2))
[/mm]
mit [mm] \Delta [/mm] x=(b-a)/n
Also ist mein [mm] \Delta [/mm] x=(8/n)
Aber wie komme ich jetzt auf meine Funktion y=?
Eigentlich ist das Integral ja die Funktion, aber ich kann doch nicht für jedes [mm] f(x_{0}) [/mm] immer das ganze Integral einsetzen, oder?
Kann mir da jemand helfen?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 23.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> 1) [mm]I=\integral_{0}^{8}{(1/(2* \wurzel{1+x}))dx}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie mit der Trapezregel die Näherungswerte
> [mm]T_{2}[/mm] und [mm]T_{4}[/mm] für I. (auf 3 Stellen nach dem Komma)
>
> b) Bestimmen Sie mit der Fehlerformel zur Trapezregel eine
> Teilzahl n, für welche die Trapezregel [mm]T_{n}[/mm] den Wert von I
> auf [mm]10^{-4}[/mm] genau berechnet.
> Hallo,
> die Formel hierfür lautet doch
> [mm]T_{n}:=\Delta x*((f(x_{0})/2)+f(x_{1}+f(x_{2})+...+f(x_{n-1}+(f(x_{n})/2))[/mm]
>
> mit [mm]\Delta[/mm] x=(b-a)/n
>
> Also ist mein [mm]\Delta[/mm] x=(8/n)
>
> Aber wie komme ich jetzt auf meine Funktion y=?
> Eigentlich ist das Integral ja die Funktion, aber ich kann
> doch nicht für jedes [mm]f(x_{0})[/mm] immer das ganze Integral
> einsetzen, oder?
Das Integral ist eine Zahl. Deine Funktion f sit doch gegeben:
f(x) = [mm] 1/(2\wurzel{1+x})
[/mm]
FRED
> Kann mir da jemand helfen?
> Viele Grüße,
> Anna
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Hallo,
ach, ja klar, das Integral ist die Fläche, hier 2, und meine Funktion ist
[mm] f(x)=(1/(2*\wurzel{1+x})).
[/mm]
Gut, dann kann ich [mm] T_{2} [/mm] und [mm] T_{4} [/mm] berechnen:
[mm] T_{2}:= 4*((1/(\wurzel{1+4})+(1/(\wurzel{1+8})) [/mm] = (8/3)
[mm] T_{4}:= 2*((1/(\wurzel{1+2})+(1/(2\wurzel{1+4})+(1/(2\wurzel{1+6})+(1/(\wurzel{1+8}))\approx2,647
[/mm]
Nun brauche ich eine Zahl n, mit der I auf [mm] 10^{-4} [/mm] genau berechnet wird.
Die Fehlerformel für die Trapezregel ist:
max [mm] |f''(x)|\leM
[/mm]
Und die Abschätzung für den Fehler: [mm] (M/12)*(b-a)*(\Delta x)^{2}
[/mm]
Kann mir jemand sagen, was dabei das M ist?
Wenn ich das weiß, kann ich ja eigentlich schreiben:
[mm] (M/12)*(b-a)*((b-a)/n)^{2} \le 10^{-4} [/mm] und dann nach n auflösen. Ist das so richtig?
Viele Grüße,
Anna
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> Hallo,
> ach, ja klar, das Integral ist die Fläche, hier 2, und
> meine Funktion ist
> [mm]f(x)=(1/(2*\wurzel{1+x})).[/mm]
>
> Gut, dann kann ich [mm]T_{2}[/mm] und [mm]T_{4}[/mm] berechnen:
>
> [mm]T_{2}:= 4*((1/(\wurzel{1+4})+(1/(\wurzel{1+8}))[/mm] = (8/3)
Hallo,
das sieht mir ziemlich verkorkst aus...
Du hast doch im Einganspost die Formel für die Trapezregel angegeben.
Was sind denn nun Deine Punkte [mm] x_0, x_1, x_2?
[/mm]
Und wie lautet die Funktion?
Gruß v. Angela
> [mm]T_{4}:= 2*((1/(\wurzel{1+2})+(1/(2\wurzel{1+4})+(1/(2\wurzel{1+6})+(1/(\wurzel{1+8}))\approx2,647[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:23 Do 25.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hallo,
ach so, ja, danke für den Hinweis, das habe ich mittlerweile auch gemerkt, dass ich vergessen habe, dass man ja immer Anfangs- UND Endpunkt des Intervalls nehmen muss.
Also ist jetzt mein
[mm] T_{4}:= 2*((\bruch{1}{4*\wurzel{1+0}})+(\bruch{1}{2*\wurzel{1+2}})+(\bruch{1}{2*\wurzel{1+4}})+(\bruch{1}{2*\wurzel{1+6}})+(\bruch{1}{4*\wurzel{1+8}}))\approx2,07
[/mm]
Das sieht doch eigentlich schon ganz gut aus, da I=2 ist.
Aber jetzt habe ich immernoch das Problem, was das M in der Fehlerformel bedeutet... ???!!???
Viele Grüße,
Anna
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> Hallo,
> ach, ja klar, das Integral ist die Fläche, hier 2, und
> meine Funktion ist
> [mm]f(x)=(1/(2*\wurzel{1+x})).[/mm]
>
> Gut, dann kann ich [mm]T_{2}[/mm] und [mm]T_{4}[/mm] berechnen:
>
> [mm]T_{2}:= 4*((1/(\wurzel{1+4})+(1/(\wurzel{1+8}))[/mm] = (8/3)
>
> [mm]T_{4}:= 2*((1/(\wurzel{1+2})+(1/(2\wurzel{1+4})+(1/(2\wurzel{1+6})+(1/(\wurzel{1+8}))\approx2,647[/mm]
>
> Nun brauche ich eine Zahl n, mit der I auf [mm]10^{-4}[/mm] genau
> berechnet wird.
> Die Fehlerformel für die Trapezregel ist:
> max [mm]|f''(x)|\le M[/mm]
> Und die Abschätzung für den Fehler: [mm](M/12)*(b-a)*(\Delta x)^{2}[/mm]
Hallo,
das ist chaotisch.
Zu 'ner Abschatzung gehört immer, daß man sagt, daß irgendwas größer oder kleiner als was anderes ist.
Hier ist also der Fehler f [mm] \le (M/12)*(b-a)*(\Delta x)^{2}.
[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen, was dabei das M ist?
Was das M ist, hast Du doch eine Zeile zuvor selbst aufgeschrieben: eine obere Schranke für den Betrag der zweiten Ableitung von f (in dem betrachteten Intervall).
> Wenn ich das weiß, kann ich ja eigentlich schreiben:
> [mm](M/12)*(b-a)*((b-a)/n)^{2} \le 10^{-4}[/mm] und dann nach n
> auflösen. Ist das so richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also ist das dann richtig, dass ich die 2.Ableitung von meiner Funktion dafür bilden muss und dann darein das größere Intervallende einsetzen muss, um M zu bekommen.?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !
Genau lesen:
M = eine obere Schranke für den Betrag der zweiten Ableitung von f (in dem betrachteten Intervall)
FRED.
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Hallo,
ja, und wie finde ich solch eine obere Schranke. Mein Intervall ist doch von 0 bis 8. Und der höchste Wert, den die 2.Ableitung annehmen kann, kommt doch dann zustande, wenn ich 8 einsetze, oder?
Aber wie finde ich denn sonst die obere Schranke???
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ja, und wie finde ich solch eine obere Schranke. Mein
> Intervall ist doch von 0 bis 8. Und der höchste Wert, den
> die 2.Ableitung annehmen kann, kommt doch dann zustande,
> wenn ich 8 einsetze, oder?
Das gilt nur, wenn f'' monoton wachsend ist. Ist das in Deinem Fall der Fall ?
M = max {|f''(x)| : x [mm] \in [/mm] [0,8]}
FRED
> Aber wie finde ich denn sonst die obere Schranke???
> Viele Grüße,
> Anna
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Hallo,
so wie ich das ausgerechnet habe, ist in meinem Fall
[mm] f''(x)=\bruch{3}{8}*(1+x)^{-(5/2)}
[/mm]
und das ist nicht monoton wachsend. Aber wie berechne ich "M" denn dann???
Wäre super, wenn mir das irgendwer sagen könnte... ich bin sonst echt aufgeschmissen....
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> so wie ich das ausgerechnet habe, ist in meinem Fall
> [mm]f''(x)=\bruch{3}{8}*(1+x)^{-(5/2)}[/mm]
>
> und das ist nicht monoton wachsend. Aber wie berechne ich
> "M" denn dann???
f'' ist monoton fallend, also f''(x) [mm] \le [/mm] f''(0) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,8]. Somit
M = |f''(0)| = f''(0) = 3/8
FRED
> Wäre super, wenn mir das irgendwer sagen könnte... ich bin
> sonst echt aufgeschmissen....
>
> Viele Grüße,
> Anna
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