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| Aufgabe | Es seien [mm] t_0,...,t_n \in [-1,1] [/mm] die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms [mm] T_{n+1}. [/mm] Dann gilt:
[mm] min_{x_0,...,x_n \in [-1,1]} max_{x \in [-1,1]} \produkt_{j=0}^{n} |x-x_j| = max_{x \in [-1,1]} \produkt_{j=0}^{n} |x-t_j| = 2^{-n} [/mm] |
Hallo!
Dieser Satz soll zeigen, dass die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome die optimale Wahl der Stützstellen einer Polynominterpolation definieren.
Aber wodurch sehe ich das darin?
Mich verwirrt schon der Ausdruck durch "min max": Das Minimum des Maximums? Wie kann ich mir das vorstellen?
Kann mir jemand hier einen Schubs in die richtige Richtung geben?
Das wäre klasse!
Liebe Grüße,
Lily
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Hiho,
> Mich verwirrt schon der Ausdruck durch "min max": Das Minimum des Maximums? Wie kann ich mir das vorstellen?
da stehen doch völlig unterschiedliche Indizes!
Das Maximum wird über alle [mm] $x\in [/mm] [-1,1]$ gebildet.
Der Abstand, den dein Punkt x zur Stützstelle [mm] x_j [/mm] hat ist ja gerade [mm] $|x-x_j|$.
[/mm]
Du betrachtest nun gerade das Produkt aller Abstände und sucht dasjenige x mit dem GRÖSSTEN Abstandsprodukt.
Dann erhält man das KLEINSTE dieser Abstandsprodukte zu beliebigen Stützstellen gerade genau dann, wenn man als Stützstellen die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms wählt.
Gruß,
Gono
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Hallo!
Danke erstmal für die flotte Antwort!
> Du betrachtest nun gerade das Produkt aller Abstände und
> sucht dasjenige x mit dem GRÖSSTEN Abstandsprodukt.
>
> Dann erhält man das KLEINSTE dieser Abstandsprodukte zu
> beliebigen Stützstellen gerade genau dann, wenn man als
> Stützstellen die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms
> wählt.
>
Das verstehe ich noch nicht: Sagen wir, x=-0,5 ist das x mit dem größten Abstandsprodukt.
Wir berechnen es und raus kommt eine Zahl a.
Und dann haben wir dastehen: [mm] min_{x_0,...,x_n \in [-1,1]}a.
[/mm]
Wenn ich dich richtig verstehe, suchen wir nun a minimal. Aber a ist doch maximal?
Ich stehe offensichtlich ziemlich auf dem Schlauch -.-
Liebe Grüße,
Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mo 18.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Ich erkläre Dir das mit "min max" mal ausführlich: für feste [mm] x_0,...,x_n [/mm] sei
[mm] f(x):=\produkt_{j=0}^{n}|x-x_j| [/mm] (x [mm] \in [/mm] [-1,1]).
Davon wird nun berechnet:
[mm] \phi:= \max\{f(x): x \in [-1,1] \}
[/mm]
Da f noch von [mm] x_0,...,x_n [/mm] abhängt, hängt aich [mm] \phi [/mm] von [mm] x_0,...,x_n [/mm] ab, also
[mm] \phi= \phi(x_0,...,x_n).
[/mm]
Dann berechnen wir
[mm] \min\{\phi(x_0,...,x_n): x_0,...,x_n \in [-1,1]\}
[/mm]
FRED
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Hallo!
Danke für die Antwort!
Ich habe nun versucht mir das an einem Bsp klar zu machen:
Seien [mm] n=2, x_0=-1, x_1=0, x_2=1 [/mm]
Dann ist [mm]f(x)=|x+1||x||x-1|=|(x+1)x(x-1)|=|x^3-x|[/mm]
Es gibt zwei Maxima in [-1,1], die (nach dem Graphen zu schließen) bei ca. -0.6 und 0.6 liegen.
Das heißt [mm] \phi(x_0,...,x_n)={-0.6, 0.6}. [/mm] Und damit [mm] min_{x_0,...,x_n} \phi(x_0,...,x_n)=-0.6.
[/mm]
Stimmt meine Überlegung?
Dann würde es aber nicht mit dem Satz übereinstimmen, denn [mm] 2^{-2} [/mm] = 0.25....?
Liebe Grüße,
Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Di 19.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Danke für die Antwort!
> Ich habe nun versucht mir das an einem Bsp klar zu
> machen:
>
> Seien [mm]n=2, x_0=-1, x_1=0, x_2=1[/mm]
>
> Dann ist [mm]f(x)=|x+1||x||x-1|=|(x+1)x(x-1)|=|x^3-x|[/mm]
> Es gibt zwei Maxima in [-1,1], die (nach dem Graphen zu
> schließen) bei ca. -0.6 und 0.6 liegen.
D.h. dann, dass die Maxima bei $x= 0,6$ und $x= -0,6$ liegen.
> Das heißt [mm]\phi(x_0,...,x_n)={-0.6, 0.6}.[/mm]
Es ist doch [mm] $\phi$ [/mm] das Maximum der Funktionswerte, also [mm] $\phi(x_0,...,x_n)=f(0.6)(=f(-0,6))$ [/mm]
> Und damit
> [mm]min_{x_0,...,x_n} \phi(x_0,...,x_n)=-0.6.[/mm]
>
> Stimmt meine Überlegung?
Nein, denn der Wert $f(0.6)$ gilt für [mm] $x_{0}=-1$, $x_{1}=0$ [/mm] und [mm] $x_{2}=1$, [/mm] Du aber sollst beim Minimum über die [mm] $x_{i}$ [/mm] variieren.
>
> Dann würde es aber nicht mit dem Satz übereinstimmen,
> denn [mm]2^{-2}[/mm] = 0.25....?
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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Achso, da hab ich was durcheinander gebracht... Also wäre es so: ...?
[mm] min_{x_0,x_1,x_2 \in [-1,1]} \phi(x_0,x_1,x_2) [/mm] = min [mm] \produkt_{j=0}^2 |0,6-x_j|
[/mm]
Und die Lösung wäre dann eine Zahl, welche laut dem Satz [mm] =2^{-n}=2^{-2}=0,25 [/mm] ist?
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 20.07.2016 | | Autor: | hippias |
Fred hat es anders erklärt. Ich wähle $n=1$, damit es nicht ausartet. Es war [mm] $f=|x-x_{0}||x-x_{1}|$ [/mm] gesetzt und [mm] $\phi= \phi(x_{0},x_{1})$ [/mm] ist das Maximum von $f$ über [mm] $x\in [/mm] [-1,1]$. Da $f$ der Betrag einer Parabel ist, ist das Maximum am Rand zu finden oder genau in der Mitte der beiden Nullstellen: [mm] $\frac{x_{0}+x_{1}}{2}$. [/mm] Folglich ist [mm] $\phi(x_{0}, x_{1})= \max\{f(1), f(-1), f\left(\frac{x_{0}+x_{1}}{2}\right)\}= \max\{|1-x_{0}||1-x_{1}|, |-1-x_{0}||-1-x_{1}|, \left(\frac{x_{0}-x_{1}}{2}\right)^{2}\}$. [/mm] Ich habe mir keine Gedanken gemacht, bei welchen [mm] $x_{0}, x_{1}$, [/mm] welcher der drei Werte am grössten ist. Es lässt sich ja auch noch einiges vereinfachen: [mm] $|1-x_{0}||1-x_{1}|= (1-x_{0})(1-x_{1})$ [/mm] und [mm] $|-1-x_{0}||-1-x_{1}|= (1+x_{0})(1+x_{1})$. [/mm] Ausserdem sind die beiden Ausdrücke symmetrisch.
Sind [mm] $x_{0},x_{1}\geq [/mm] 0$, so wird das Maximum [mm] $\phi(x_{0}, x_{1})= (1+x_{0})(1+x_{1})$ [/mm] sein etc. etc.
Zum Schluss wird [mm] $\phi$ [/mm] bezüglich [mm] $x_{0}$ [/mm] und [mm] $x_{1}$ [/mm] minimiert. Würde also nur über den Bereich $[0,1]$ minimiert, so folgte [mm] $\min_{x_{0}, x_{1}\in [0,1]} \phi(x_{0}, x_{1})= \min_{x_{0}, x_{1}\in [0,1]} (1+x_{0})(1+x_{1})= [/mm] 1$.
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