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UVR / Lgs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 Fr 31.03.2017
Autor: James90

Hi!

Warum sind die folgenden Mengen ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] über dem Körper [mm] \IR? [/mm]

a) [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3\\2}+\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\} [/mm]

b) [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid x_1+3x_2-2x_3=0\wedge -2x_1+x_2=0\} [/mm]

Bei a) steht als Lösung, dass das gilt, weil die Menge den Nullvektor enthält. Diese Idee verstehe ich nicht. Ja, für [mm] \lambda=-1 [/mm] und [mm] \mu=-2 [/mm] erhalten wir das gewünschte, aber wieso ist die Menge nur deshalb ein Untervektorraum?

Bei b) steht als Lösung, dass das gilt, weil es die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist. Diese Idee verstehe ich auch nicht. Ja, das LGS ist homogen und der Nullvektor ist damit eine Lösung, aber auch hier fehlt mir wohl die gleiche Begründung, die ich bei a) brauche.

Vielen Dank!

        
Bezug
UVR / Lgs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:44 Fr 31.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Hi!
>  
> Warum sind die folgenden Mengen ein Untervektorraum des
> [mm]\IR^3[/mm] über dem Körper [mm]\IR?[/mm]
>  
> a) [mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3\\2}+\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\}[/mm]
>  
> b) [mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid x_1+3x_2-2x_3=0\wedge -2x_1+x_2=0\}[/mm]
>  
> Bei a) steht als Lösung, dass das gilt, weil die Menge den
> Nullvektor enthält. Diese Idee verstehe ich nicht. Ja,
> für [mm]\lambda=-1[/mm] und [mm]\mu=-2[/mm] erhalten wir das gewünschte,
> aber wieso ist die Menge nur deshalb ein Untervektorraum?

Hallo,

das alleine reicht wirklich nicht aus, um zu entscheiden, ob eine Menge ein UVR eines  Vektorraumes ist.
Um auf "UVR" zu prüfen, stehen Dir ja die UVR-Kriterien zur Verfügung. Damit kannst Du die Aufgabe auf jeden Fall bewältigen - und Du solltest das auch mal versuchen.

Die Dir vorliegenden Lösung stelle ich mir so vor:
ich denke, in der Vorlesung wurde notiert, daß der von n Vektoren eines Vektorraumes V aufgespannte Raum ein UVR von V ist.
Da der Nullvektor in Deiner Menge liegt, ist

[mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 3\\2}+\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\}[/mm][mm] =<\vektor{2 \\ 1\\0},\vektor{0 \\ 1\\1}>. [/mm]
(Die spitzen Klammern stehen hier für den Span/lineare Hülle/aufgespannten Raum, also für [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid\exist\lambda,\mu\in\IR:\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\lambda\vektor{2 \\ 1\\0}+\mu\vektor{0 \\ 1\\1}\}) [/mm]

>  
> Bei b) steht als Lösung, dass das gilt, weil es die
> Lösungsmenge eines homogenen LGS ist. Diese Idee verstehe
> ich auch nicht. Ja, das LGS ist homogen und der Nullvektor
> ist damit eine Lösung, aber auch hier fehlt mir wohl die
> gleiche Begründung, die ich bei a) brauche.

Auch hier stelle ich es mir so vor, daß in der Vorlesung bereits besprochen wurde, daß Lösungsmengen von homogenen LGSen Untervektorräume sind.

Aber auch hier kannst Du mithilfe der Unterraumkriterien die UVR-Eigenschaft zeigen, und auch hier ist es kein Fehler, das mal getan zu haben.

Du kannst aber auch das LGS lösen. Du stellst fest:

[mm]\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3\mid x_1+3x_2-2x_3=0\wedge -2x_1+x_2=0\}[/mm][mm] =<\vektor{2\\4\\7}>, [/mm]
und damit eine UVR, weil es ja die lineare Hülle eines Vektors ist.

LG Angela

>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
UVR / Lgs: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:49 Fr 31.03.2017
Autor: James90

Danke! :)

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Bezug
UVR / Lgs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Fr 31.03.2017
Autor: fred97

Hallo James,

wenn ich mir die Lösungen  anschaue kommt mir der Verdacht, dass Du ,was den VorlesungStoff angeht,  nicht auf dem Laufenden  bist.

die lösung von a) -kommt wahrscheinlich so zustande :

sei E eine Ebene  im [mm] \IR^2. [/mm] Dann gilt:

E ist ein Untervektorraum  [mm] \gdw [/mm] E enthält den  Nullvektor.

zu b):

da habt  Ihr wahrscheinlich  gelernt: die Lösungsmenge  eines LG S   ist ein Vektorraum.




Bezug
                
Bezug
UVR / Lgs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Fr 31.03.2017
Autor: James90

Hi Fred!

> wenn ich mir die Lösungen  anschaue kommt mir der
> Verdacht, dass Du ,was den VorlesungStoff angeht,  nicht
> auf dem Laufenden  bist.

Ich gehe zur Zeit Altklausuren durch, die nicht unbedingt von meinem Professor sind, so dass wir das eine oder andere Thema weniger behandelt haben.

> die lösung von a) -kommt wahrscheinlich so zustande :
>  
> sei E eine Ebene  im [mm]\IR^2.[/mm] Dann gilt:
>  
> E ist ein Untervektorraum  [mm]\gdw[/mm] E enthält den  Nullvektor.

Sind wir bei a) nicht im [mm] /IR^3? [/mm]

> zu b):
>  
> da habt  Ihr wahrscheinlich  gelernt: die Lösungsmenge  
> eines LG S   ist ein Vektorraum.

Vielen Dank!


Bezug
                        
Bezug
UVR / Lgs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:49 Sa 01.04.2017
Autor: fred97


> Hi Fred!
>  
> > wenn ich mir die Lösungen  anschaue kommt mir der
> > Verdacht, dass Du ,was den VorlesungStoff angeht,  nicht
> > auf dem Laufenden  bist.
>  
> Ich gehe zur Zeit Altklausuren durch, die nicht unbedingt
> von meinem Professor sind, so dass wir das eine oder andere
> Thema weniger behandelt haben.
>  
> > die lösung von a) -kommt wahrscheinlich so zustande :
>  >  
> > sei E eine Ebene  im [mm]\IR^2.[/mm] Dann gilt:
>  >  
> > E ist ein Untervektorraum  [mm]\gdw[/mm] E enthält den  Nullvektor.
>
> Sind wir bei a) nicht im [mm]/IR^3?[/mm]



klar, da hab ich  mich  verschrieben






>  
> > zu b):
>  >  
> > da habt  Ihr wahrscheinlich  gelernt: die Lösungsmenge  
> > eines LG S   ist ein Vektorraum.
>
> Vielen Dank!
>  


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