matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLogikUltrafilter, maximaler Filter
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Logik" - Ultrafilter, maximaler Filter
Ultrafilter, maximaler Filter < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Logik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ultrafilter, maximaler Filter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:59 Mo 04.05.2015
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
1) Beweisen Sie, dass ein Filter [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] auf $I$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn er ein maximaler Filter auf I ist.

2) Es sei [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] ein Ultrafilter auf $I$ und [mm] $(M_i|i\in [/mm] I)$ eine Folge endlicher Mengen mit der Eigenschaft, dass

[mm] $X_n=\{i\in I| M_i\quad\text{enthält mindestens n Elemente}\}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] ein Element von [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] ist. Beweisen Sie, dass die Menge [mm] $\prod_\mathcal{U} M_i$ [/mm] unendlich ist.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

Erstmal nur zur 1).

Zu zeigen ist hier die Äquivalenz. Maximaler Filter zu sein bedeutet, dass für jeden Filter [mm] $\mathcal{F}'$ [/mm]  auf $I$ mit [mm] $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'$ [/mm] bereits [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{F}'$ [/mm] gilt.

Ich glaube die Rückrichtung habe ich bereits zeigen können:

Angenommen [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist ein maximaler Filter und [mm] $X\notin\mathcal{F}$. [/mm]
Zeige: [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$ [/mm]

(Denn neben den "normalen" Filter-Eigenschaften gilt für einen Ultrafilter ja noch zusätzlich, dass für alle [mm] $X\subset [/mm] I$ [mm] ($\mathcal{F}$ [/mm] ist ein Filter auf $I$) gilt [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] oder [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$) [/mm]

Da [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein maximaler Filter ist, und [mm] $\mathcal{F}\neq\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] gilt, dass [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] kein Filter ist und daher auch endliche Schnitte von Elementen von [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] kein Element von [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] sind.

Also existiert ein [mm] $Y\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $X\cap Y=\emptyset$. [/mm]
Damit ist [mm] $Y\subseteq I\setminus [/mm] X$, somit [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$ [/mm]

Geht das so in Ordnung?

Nun zu der Hinrichtung, die wahrscheinlich schwerer ist.
Denn hier muss ich zeigen, dass etwas maximal ist. Und wie es bei maximalen Dingen nunmal der Fall ist, werde ich wohl Zorns Lemma gebrauchen müssen.
Doch daran scheitere ich.

Zorns Lemma besagt ja, dass jede halbgeordnete Menge, in der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.

Die Frage die sich mir stellt ist, wie ich auf beliebigen Mengen eine totale Ordnung definieren kann. Über die Mengen und ihre Elemente ist ja nicht bekannt. Ein Filter enthält ja Mengen als Elemente. Ich müsste diese Mengen also irgendwie vergleichen können und dann zeigen, dass jede jede Teilmenge von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine obere Schranke hat.

Über Korrekturen, Tipps und Anregungen würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

mfg

        
Bezug
Ultrafilter, maximaler Filter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Mo 04.05.2015
Autor: hippias


> 1) Beweisen Sie, dass ein Filter [mm]\mathcal{F}[/mm] auf [mm]I[/mm] genau
> dann ein Ultrafilter ist, wenn er ein maximaler Filter auf
> I ist.
>  
> 2) Es sei [mm]\mathcal{U}[/mm] ein Ultrafilter auf [mm]I[/mm] und [mm](M_i|i\in I)[/mm]
> eine Folge endlicher Mengen mit der Eigenschaft, dass
>
> [mm]X_n=\{i\in I| M_i\quad\text{enthält mindestens n Elemente}\}[/mm]
> für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] ein Element von [mm]\mathcal{U}[/mm] ist.
> Beweisen Sie, dass die Menge [mm]\prod_\mathcal{U} M_i[/mm]
> unendlich ist.
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>  
> Erstmal nur zur 1).
>  
> Zu zeigen ist hier die Äquivalenz. Maximaler Filter zu
> sein bedeutet, dass für jeden Filter [mm]\mathcal{F}'[/mm]  auf [mm]I[/mm]
> mit [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'[/mm] bereits
> [mm]\mathcal{F}=\mathcal{F}'[/mm] gilt.
>  
> Ich glaube die Rückrichtung habe ich bereits zeigen
> können:
>  
> Angenommen [mm]\mathcal{F}[/mm] ist ein maximaler Filter und
> [mm]X\notin\mathcal{F}[/mm].
> Zeige: [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm]
>  
> (Denn neben den "normalen" Filter-Eigenschaften gilt für
> einen Ultrafilter ja noch zusätzlich, dass für alle
> [mm]X\subset I[/mm] ([mm]\mathcal{F}[/mm] ist ein Filter auf [mm]I[/mm]) gilt
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] oder [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm])
>  
> Da [mm]\mathcal{F}[/mm] ein maximaler Filter ist, und
> [mm]\mathcal{F}\neq\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] gilt, dass
> [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] kein Filter ist und daher auch
> endliche Schnitte von Elementen von [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm]
> kein Element von [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] sind.
>  
> Also existiert ein [mm]Y\in\mathcal{F}[/mm] mit [mm]X\cap Y=\emptyset[/mm].
>  
> Damit ist [mm]Y\subseteq I\setminus X[/mm], somit [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm]
>  
> Geht das so in Ordnung?

Die Idee ist gut. Der Beweis aber noch lueckenhaft. Denn die Durchschnittseigenschaft ist ja nicht die einzige Filtereigenschaft, die in [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] verletzt sein koennte. Ferner bist Du stillschweigend davon ausgegangen, dass eine der beiden Mengen, die die Durchschnittseigenschaft verletzen die Menge $X$ ist. Das koennte man noch etwas erklaeren.

Beide Luecken lassen sich aber ohne grossen Aufwand schliessen.

>  
> Nun zu der Hinrichtung, die wahrscheinlich schwerer ist.
>  Denn hier muss ich zeigen, dass etwas maximal ist. Und wie
> es bei maximalen Dingen nunmal der Fall ist, werde ich wohl
> Zorns Lemma gebrauchen müssen.
>  Doch daran scheitere ich.

Nein, es geht ohne. Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Ultrafilter und [mm] $\mathcal{F'}$ [/mm] ein Filter, der [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] enthaelt. Zeige mit Hilfe der Ultrafiltereigenschaft, dass [mm] $\mathcal{F'}$ [/mm] nicht echt groesser als [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein kann.

>
> Zorns Lemma besagt ja, dass jede halbgeordnete Menge, in
> der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat,
> enthält mindestens ein maximales Element.
>  
> Die Frage die sich mir stellt ist, wie ich auf beliebigen
> Mengen eine totale Ordnung definieren kann. Über die
> Mengen und ihre Elemente ist ja nicht bekannt. Ein Filter
> enthält ja Mengen als Elemente. Ich müsste diese Mengen
> also irgendwie vergleichen können und dann zeigen, dass
> jede jede Teilmenge von [mm]\mathcal{F}[/mm] eine obere Schranke
> hat.
>  
> Über Korrekturen, Tipps und Anregungen würde ich mich
> sehr freuen.
>  Vielen Dank im voraus.
>
> mfg


Bezug
                
Bezug
Ultrafilter, maximaler Filter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mo 04.05.2015
Autor: impliziteFunktion


> Ferner bist Du stillschweigend davon ausgegangen, dass eine der beiden
> Mengen, die die Durchschnittseigenschaft verletzen die Menge X ist.

Ich betrachte ja die Menge [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$, [/mm] dabei weiß ich, dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Filter ist. Das heißt, dass wenn eine Menge die Durchschnittseigenschaft verletzt, dann muss es ja eine beliebige Menge aus [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein und $X$. Denn wenn man nicht $X$ nimmt, dann betrachtet man ja lediglich wieder den ursprünglichen Filter.
Es kann also nur schiefgehen wenn man X betrachtet, oder sehe ich das falsch?

Die weitere Eigenschaft die verletzt werden müsste ist, dass Obermengen von Filterelementen wieder ein Element des Filters sind.
Naja, offensichtlich gilt das im allgemeinen nicht, etwa wenn ich eine Obermenge betrachte, welche X als Element enthält, dann ist diese sicherlich kein Element des Filters.

Bezug
                        
Bezug
Ultrafilter, maximaler Filter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Di 05.05.2015
Autor: hippias


> > Ferner bist Du stillschweigend davon ausgegangen, dass eine
> der beiden
> > Mengen, die die Durchschnittseigenschaft verletzen die
> Menge X ist.
>
> Ich betrachte ja die Menge [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm], dabei
> weiß ich, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] ein Filter ist. Das heißt,
> dass wenn eine Menge die Durchschnittseigenschaft verletzt,
> dann muss es ja eine beliebige Menge aus [mm]\mathcal{F}[/mm] sein
> und [mm]X[/mm]. Denn wenn man nicht [mm]X[/mm] nimmt, dann betrachtet man ja
> lediglich wieder den ursprünglichen Filter.
> Es kann also nur schiefgehen wenn man X betrachtet, oder
> sehe ich das falsch?

Nein, Du siehst es voellig richtig; es sollte nur erwaehnt werden, damit es jedem klar ist.

>  
> Die weitere Eigenschaft die verletzt werden müsste ist,
> dass Obermengen von Filterelementen wieder ein Element des
> Filters sind.
>  Naja, offensichtlich gilt das im allgemeinen nicht, etwa
> wenn ich eine Obermenge betrachte, welche X als Element
> enthält, dann ist diese sicherlich kein Element des
> Filters.

Richtig. Nur jetzt kannst Du nicht mehr notwendig sagen: Weil [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] kein Filter ist, ist die Durchschnittseigenschaft verletzt. Erweitere also [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] so, dass notwendig die Durchschnittseigenschaft verletzt ist, aber nicht die Obermengeneigenschaft.

Bezug
                                
Bezug
Ultrafilter, maximaler Filter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Di 05.05.2015
Autor: impliziteFunktion


> Richtig. Nur jetzt kannst Du nicht mehr notwendig sagen: Weil
> [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\} [/mm] $ kein Filter ist, ist die Durchschnittseigenschaft verletzt.
> Erweitere also $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ so, dass notwendig die Durchschnittseigenschaft > verletzt ist, aber nicht die Obermengeneigenschaft.

Dies verstehe ich nicht so recht.
Wieso soll ich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] so erweiteren, dass die Durchschnittseigenschaft verletzt ist, aber die Obermengeneigenschaft immer noch gilt.
Das sollte doch gar nicht möglich sein, weil wenn ich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm]  so erweiter, dass er kein Filter mehr ist, dann kann muss doch auch die Obermengeneigenschaft schiefgehen?
Wieso recht es nicht, nur über die Durchschnittseigenschaft zu argumentieren? Reicht es nicht eine Eigenschaft zu widerlegen?

Zu der Richtung:

[mm] $\mathcal{F}$ [/mm] Ultrafilter [mm] $\Rightarrow\quad \mathcal{F}$ [/mm] maximal


Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Ultrafilter und sei [mm] $\mathcal{F}'$ [/mm] ein Filter über $I$, der [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] enthält, also [mm] $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'$. [/mm]

Angenommen [mm] $\mathcal{F}\neq\mathcal{F}'$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $X\in [/mm] I$ mit [mm] $X\in\mathcal{F}'$ [/mm] und [mm] $X\notin\mathcal{F}$. [/mm]
Da [mm] $X\notin\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] Ultrafilter ist [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$ [/mm] und damit [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}'$. [/mm]
Damit ist aber auch [mm] $(I\setminus X)\cap X=\emptyset\in\mathcal{F}'$. [/mm]
Widerspruch. Also muss [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{F}'$ [/mm] gelten.

Bezug
                                        
Bezug
Ultrafilter, maximaler Filter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Mi 06.05.2015
Autor: hippias


> > Richtig. Nur jetzt kannst Du nicht mehr notwendig sagen:
> Weil
> > [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] kein Filter ist, ist die
> Durchschnittseigenschaft verletzt.
>  > Erweitere also [mm]\mathcal{F}[/mm] so, dass notwendig die

> Durchschnittseigenschaft > verletzt ist, aber nicht die
> Obermengeneigenschaft.
>
> Dies verstehe ich nicht so recht.
> Wieso soll ich [mm]\mathcal{F}[/mm] so erweiteren, dass die
> Durchschnittseigenschaft verletzt ist, aber die
> Obermengeneigenschaft immer noch gilt.
>  Das sollte doch gar nicht möglich sein, weil wenn ich
> [mm]\mathcal{F}[/mm]  so erweiter, dass er kein Filter mehr ist,
> dann kann muss doch auch die Obermengeneigenschaft
> schiefgehen?
>  Wieso recht es nicht, nur über die
> Durchschnittseigenschaft zu argumentieren? Reicht es nicht
> eine Eigenschaft zu widerlegen?

Natuerlich wuerde das reichen. Nur gibt es keinen Grund zu sagen, dass [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] deswegen kein Filter ist, weil die Durchschnittseigenschaft verletzt ist. Selbst wenn fuer [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] die Durchschnittseigenschaft nicht verletzt waere, waere es noch immer kein Filter. Alles was Du sagen kannst, ist, dass eine der Filtereigenschaften nicht erfuellt sind: die Durchschnittseigenschaft oder die Obermengeneigenschaft.
Im Fall, dass es die erste ist, folgt leicht, dass ein Ultrafilter vorliegt. Aber was ist in dem Fall, dass es nicht die erste, sondern die zweite ist?

>  
> Zu der Richtung:
>  
> [mm]\mathcal{F}[/mm] Ultrafilter [mm]\Rightarrow\quad \mathcal{F}[/mm]
> maximal
>  
>
> Sei [mm]\mathcal{F}[/mm] ein Ultrafilter und sei [mm]\mathcal{F}'[/mm] ein
> Filter über [mm]I[/mm], der [mm]\mathcal{F}[/mm] enthält, also
> [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'[/mm].
>  
> Angenommen [mm]\mathcal{F}\neq\mathcal{F}'[/mm]. Dann existiert ein
> [mm]X\in I[/mm] mit [mm]X\in\mathcal{F}'[/mm] und [mm]X\notin\mathcal{F}[/mm].
>  Da [mm]X\notin\mathcal{F}[/mm] und [mm]\mathcal{F}[/mm] Ultrafilter ist
> [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm] und damit [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}'[/mm].
> Damit ist aber auch [mm](I\setminus X)\cap X=\emptyset\in\mathcal{F}'[/mm].
>  
> Widerspruch. Also muss [mm]\mathcal{F}=\mathcal{F}'[/mm] gelten.

Sehr gut.

Bezug
                                                
Bezug
Ultrafilter, maximaler Filter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Mi 06.05.2015
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank für die Hilfe.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Logik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]