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Umformung: Umformung von Ausdruck
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 So 10.12.2017
Autor: sancho1980

Hallo

kann mir einer mal geschwind erklären, wie ich von:

[mm] \bruch{(2n + 1)(n + 1)n + 6(n + 1)^2}{6} [/mm]

zu

[mm] \bruch{(2n + 3)(n + 2)(n + 1)}{6} [/mm]

komme.

Ich lande nach Umformung bei

[mm] \bruch{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6} [/mm]

... und weiß dann nicht mehr weiter :-(

Danke und Gruß

Martin

        
Bezug
Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 So 10.12.2017
Autor: rabilein1


Was hast du denn umgeformt?

[mm](2n + 1)(n + 1)n + 6(n + 1)^2[/mm] oder  [mm](2n + 3)(n + 2)(n + 1)[/mm]

Wenn du richtig gerechnet hast (ich habe das nicht nachgeprüft), müsste ja beides  [mm]2n^3 + 9n^2 + 13n + 6[/mm] ergeben. (Den Nenner habe ich der Einfachheit halber weggelassen)

In dem Falle siehst du, dass alle drei Terme identisch sind.


Bezug
                
Bezug
Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:14 Mo 11.12.2017
Autor: sancho1980

Hi

das ist schon klar und ja, wenn ich die gesuchte Formel ausmultipliziere, komme ich auch auf meins - die Terme sind also gleich.
Es geht mir aber genau darum, von der genannten Ausgangs- auf die genannte Zielform zu kommen. Grund ist, dass ich versuche einen induktiven Beweis zu führen.

Also im Grunde hast du schon Recht; wenn ich die gesuchte Form so umstellen kann, dass die genauso aussieht, wie die, zu der ich gekommen bin, ist der Beweis natürlich auch erbracht. Aber ich dachte es gibt irgend einen eleganten Weg, um von der Ausgangsform auf genau die gesuchte Zielform zu kommen, in der nur noch (n+1) drin vorkommt und kein n isoliert dasteht. Versteht einer was ich meine?

Gruß und danke

Martin


Bezug
        
Bezug
Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:31 Mo 11.12.2017
Autor: meili

Hallo,

> Hallo
>  
> kann mir einer mal geschwind erklären, wie ich von:

Wenn du von

>  
> [mm]\bruch{(2n + 1)(n + 1)n + 6(n + 1)^2}{6}[/mm]
>  
> zu
>  
> [mm]\bruch{(2n + 3)(n + 2)(n + 1)}{6}[/mm]

kommen willst, wäre es besser auszuklammern anstatt auszumultiplizieren.

nur mal den Zähler, da die Nenner gleich sind:
[mm] $n(2n+1)(n+1)+6(n+1)^2=$ [/mm]
$(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))=$        jetzt doch innerhalb der 2. Klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen
[mm] $(n+1)(2n^2+7n+6)=$ [/mm]             um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft Erfahrung oder rumprobieren, was einfacher ist, wenn man ja weis, was rauskommen soll
$(n+1)(2n+3)(n+2)$


>  
> komme.
>  
> Ich lande nach Umformung bei
>  
> [mm]\bruch{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}[/mm]
>  
> ... und weiß dann nicht mehr weiter :-(
>  
> Danke und Gruß
>  
> Martin

Gruß
meili

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Bezug
Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:04 Mo 11.12.2017
Autor: sancho1980

Ähm, ich komm mir grad echt doof vor, aber wie hast du bei 6(n + [mm] 1)^2 [/mm] das n ausgeklammert und gleichzeitig das Quadrat wegbekommen?

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Bezug
Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 Mo 11.12.2017
Autor: chrisno

es wird (n+1) aus der Klammer gezogen. Dann beliebt von dem Quadrat (n+1)*(n+1) nur noch ein (n+1) zurück.

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Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Mo 11.12.2017
Autor: rabilein1


>  [mm](n+1)(2n^2+7n+6)=[/mm]
>  Um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft Erfahrung oder rumprobieren,
> was einfacher ist, wenn man ja weiß, was rauskommen soll: [mm](n+1)(2n+3)(n+2)[/mm]

Genau darin liegt ja wohl die Schwierigkeit (oder auch der Vorteil).
Wenn man weiß, dass sich die 2. Klammer überhaupt in Faktoren zerlegen lässt, kann man probieren, bis es klappt (die 6 könnte 2*3 oder aber auch 1*6 sein, so dass diese Zahlen vorkommen müssen).

Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar keine Faktorzerlegung. Insofern muss man auch darauf "vertrauen", dass der Aufgabensteller einen nicht reinlegen - und zum endlosen Probieren animieren - will.  


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Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Mo 11.12.2017
Autor: angela.h.b.


>
> >  [mm](n+1)(2n^2+7n+6)=[/mm]

>  >  Um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft
> Erfahrung oder rumprobieren,
> > was einfacher ist, wenn man ja weiß, was rauskommen soll:
> [mm](n+1)(2n+3)(n+2)[/mm]
>  
> Genau darin liegt ja wohl die Schwierigkeit (oder auch der
> Vorteil).
> Wenn man weiß, dass sich die 2. Klammer überhaupt in
> Faktoren zerlegen lässt, kann man probieren, bis es klappt
> (die 6 könnte 2*3 oder aber auch 1*6 sein, so dass diese
> Zahlen vorkommen müssen).
>
> Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar
> keine Faktorzerlegung.

???

Es ist [mm] 2n^2+8n+6=2(x+3)(x+1). [/mm]

LG Angela





> Insofern muss man auch darauf
> "vertrauen", dass der Aufgabensteller einen nicht reinlegen
> - und zum endlosen Probieren animieren - will.  
>  


Bezug
                                
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Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Mo 11.12.2017
Autor: rabilein1


> > Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar
> > keine Faktorzerlegung.
>  
> ???
>  
> Es ist [mm]2n^2+8n+6=2(n+3)(n+1)[/mm]
>  
> LG Angela


Ja, sorry. Fred hat es auch schon gesagt:
Wenn die Gleichung z.B. [mm]2n^2+8n+6=0[/mm] eine (oder zwei) Lösung(en) hat, dann gibt es auch eine (oder zwei) Faktor-Lösungen.


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Bezug
Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Mo 11.12.2017
Autor: fred97


>
> >  [mm](n+1)(2n^2+7n+6)=[/mm]

>  >  Um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft
> Erfahrung oder rumprobieren,
> > was einfacher ist, wenn man ja weiß, was rauskommen soll:
> [mm](n+1)(2n+3)(n+2)[/mm]
>  
> Genau darin liegt ja wohl die Schwierigkeit (oder auch der
> Vorteil).
> Wenn man weiß, dass sich die 2. Klammer überhaupt in
> Faktoren zerlegen lässt, kann man probieren, bis es klappt
> (die 6 könnte 2*3 oder aber auch 1*6 sein, so dass diese
> Zahlen vorkommen müssen).

Oh , Rabilein, probieren muss man hier gar nix: die quadratische Gleichung [mm] 2n^2+7n+6= [/mm] 0 hat die Lösungen , (die man mit der abc-Formel kriegt):

n=-2 und n=-3/2.

Damit hat man die Faktorisierung [mm] 2n^2+7n+6=2(n+2)(n+3/2)=(n+2)(2n+3). [/mm]


>
> Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar
> keine Faktorzerlegung. Insofern muss man auch darauf
> "vertrauen", dass der Aufgabensteller einen nicht reinlegen
> - und zum endlosen Probieren animieren - will.  
>  


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Bezug
Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Mo 11.12.2017
Autor: rabilein1



> Die quadratische Gleichung [mm]2n^2+7n+6=[/mm] 0 hat die Lösungen ,
> (die man mit der abc-Formel kriegt):
>  
> n=-2 und n=-3/2

Wenn sich daraus [mm](n+2)*(2n+3)[/mm] ergibt, dann doch ebenso [mm](n+1.5)*(2n+4)[/mm]

Okay, danach war nicht gefragt. Das Eigenartige an dieser Aufgabe war ja ohnehin, dass die Lösung bereits bekannt war und der Fragesteller nur wissen wollte, wie er dahin kommt.

Wenn man die Lösung aber nicht schon vorher kennt, dann muss man sicherlich so vorgehn, wie Fred gesagt hat.



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Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:02 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980


> Okay, danach war nicht gefragt. Das Eigenartige an dieser
> Aufgabe war ja ohnehin, dass die Lösung bereits bekannt
> war und der Fragesteller nur wissen wollte, wie er dahin
> kommt.

Wie gesagt ging es um einen induktiven Beweis. Die Ausgangsformel, die für den Basisfall n = 1 galt, soll auch für (n + 1) gelten. Daher war die gesuchte Zielformel diejenige Formel, die sich ergibt, wenn man in der Ausgangsformel n durch (n + 1) ersetzt.

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