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Forum "Funktionen" - Umformung e^x
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Umformung e^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Di 08.08.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe zwei Fragen zu folgenden Umformungen:

Sei [mm] \delta \in [/mm] ]0, [mm] \pi[ [/mm] und [mm] s_{x}(x) [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] sin (kx) = Im [mm] (\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}). [/mm]

Es gilt für [mm] \delta \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] - [mm] \delta: [/mm]

[mm] |s_{n}(x)| \le \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{sin \frac{x}{2}} \le \frac{1}{sin \frac{\delta}{2}} [/mm]

(der Term im Bruch unter der 2 ist sehr klein und die Exponenten lauten:
[mm] {\frac{ix}{2}} [/mm] und [mm] {\frac{-ix}{2}} [/mm]


Nun zu meinen zwei Fragen:

1) [mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm]


Im Reellen ist der Summenwert der geometrischen Reihe ja wie folgt gegeben:

a) [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} [/mm] =  [mm] \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} [/mm]  für |q| > 1

b) [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{-1}{q-1} [/mm] für |q| < 1

c) [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = n+1, für |q| = 1


Hier ist [mm] e^{ikx} [/mm] = [mm] (e^{ix})^{k}, [/mm] aber [mm] |e^{ix}| [/mm] = 1 ?

Wieso ergibt sich hier also:

[mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] ?


2) Wieso gilt [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|} [/mm] ?

Was mir noch einleuchtet ist [mm] |e^{inx} [/mm] - 1| [mm] \le [/mm] 2, wegen [mm] |e^{inx} [/mm] - 1| [mm] \le |e^{inx}| [/mm] + |-1| [mm] \le [/mm] 1 + 1 = 2

Aber wie wird die Abschätzung im Nenner vollzogen?



Wäre wie immer für jede Antwort dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Umformung e^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Di 08.08.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Ich habe zwei Fragen zu folgenden Umformungen:
>  
> Sei [mm]\delta \in[/mm] ]0, [mm]\pi[[/mm] und [mm]s_{x}(x)[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> sin (kx) = Im [mm](\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}).[/mm]
>  
> Es gilt für [mm]\delta \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] - [mm]\delta:[/mm]
>  
> [mm]|s_{n}(x)| \le \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{sin \frac{x}{2}} \le \frac{1}{sin \frac{\delta}{2}}[/mm]
>  
> (der Term im Bruch unter der 2 ist sehr klein und die
> Exponenten lauten:
>  [mm]{\frac{ix}{2}}[/mm] und [mm]{\frac{-ix}{2}}[/mm]
>  
>
> Nun zu meinen zwei Fragen:
>  
> 1) [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
>  
>
> Im Reellen ist der Summenwert der geometrischen Reihe ja
> wie folgt gegeben:
>  
> a) [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] = [mm]\frac{1 - q^{n+1}}{1-q}[/mm] =  
> [mm]\frac{q^{n+1} - 1}{q-1}[/mm]  für |q| > 1

Diese Formel gilt für jedes komplexe q [mm] \ne [/mm] 1 !


>  
> b) [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] = [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] = [mm]\frac{-1}{q-1}[/mm]
> für |q| < 1
>  

Wo hast Du das denn her ? Stimmen tuts  nicht.


> c) [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] = n+1, für |q| = 1
>  

Auch das ist falsch. Es gilt nur für q=1.


>
> Hier ist [mm]e^{ikx}[/mm] = [mm](e^{ix})^{k},[/mm] aber [mm]|e^{ix}|[/mm] = 1 ?
>  
> Wieso ergibt sich hier also:
>  
> [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> ?
>  
>
> 2) Wieso gilt [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|}[/mm]
> ?
>  
> Was mir noch einleuchtet ist [mm]|e^{inx}[/mm] - 1| [mm]\le[/mm] 2, wegen
> [mm]|e^{inx}[/mm] - 1| [mm]\le |e^{inx}|[/mm] + |-1| [mm]\le[/mm] 1 + 1 = 2
>  
> Aber wie wird die Abschätzung im Nenner vollzogen?
>  
>
>
> Wäre wie immer für jede Antwort dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Umformung e^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Di 08.08.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen!

Ja klar, da hab ich nicht aufgepasst..

1) Ist denn [mm] e^{ix} \not= [/mm] 1, da [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] betrachtet wird und wegen x [mm] \in [/mm] ]0, [mm] \pi[ [/mm] somit kx kein Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ist?

2) Wieso ergibt sich

[mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm]  ?

Wenn ich die geometrische Summenformel anwende, erhalte ich:

[mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm]  = [mm] \left|-1 + \summe_{k=0}^{n} e^{ikx} \right| [/mm] = [mm] \left|-1 + \frac{e^{i(n+1)x} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \left|-1 + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \left| -\frac{e^{ix}-1}{e^{ix} - 1} + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \frac{e^{inx} * e^{ix} - 1 - e^{ix} + 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \frac{e^{inx} * e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right|? [/mm]


3)  Wie ergibt sich die Abschätzung [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|} [/mm]

Die Abschätzung [mm] |e^{inx} [/mm] - 1| [mm] \le [/mm] 2 leuchtet mir wie gesagt ein, die des Nenners jedoch nicht.


Viele Grüße,
X3nion


Bezug
                        
Bezug
Umformung e^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Di 08.08.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen!
>  
> Ja klar, da hab ich nicht aufgepasst..
>  
> 1) Ist denn [mm]e^{ix} \not=[/mm] 1, da [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] betrachtet
> wird und wegen x [mm]\in[/mm] ]0, [mm]\pi[[/mm] somit kx kein Vielfaches von
> [mm]2\pi[/mm] ist?

ja


>  
> 2) Wieso ergibt sich
>  
> [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
>  ?
>
> Wenn ich die geometrische Summenformel anwende, erhalte
> ich:
>  
> [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm]  = [mm]\left|-1 + \summe_{k=0}^{n} e^{ikx} \right|[/mm]
> = [mm]\left|-1 + \frac{e^{i(n+1)x} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm] =
> [mm]\left|-1 + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm] =
> [mm]\left| -\frac{e^{ix}-1}{e^{ix} - 1} + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]\frac{e^{inx} * e^{ix} - 1 - e^{ix} + 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]\frac{e^{inx} * e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right|?[/mm]
>  

du solltest die betragsstriche, die du verschlsmpert hast,  anbringen und im zähler [mm] e^{ix} [/mm] ausklammern



>
> 3)  Wie ergibt sich die Abschätzung [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|}[/mm]

[mm] e^{ix/2} [/mm] ausklammern


>
> Die Abschätzung [mm]|e^{inx}[/mm] - 1| [mm]\le[/mm] 2 leuchtet mir wie
> gesagt ein, die des Nenners jedoch nicht.
>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  


Bezug
                                
Bezug
Umformung e^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Di 08.08.2017
Autor: X3nion


> > 2) Wieso ergibt sich
>  >  
> > [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]

> du solltest die betragsstriche, die du verschlsmpert hast,  
> anbringen und im zähler [mm]e^{ix}[/mm] ausklammern

Hallo Fred,
sorry, habe mein Schlampermäppchen mal weggelegt [happy]

Klammert man [mm] e^{ix} [/mm] aus, so ergibt sich:

[mm] \left| \frac{e^{inx} \cdot{} e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{e^{ix} \cdot{} (e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] |e^{ix}| [/mm] * [mm] \left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| [/mm]

wegen [mm] |e^{ix}| [/mm] = 1.


Weiter ist [mm] \left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| \le \frac{2}{|e^{ix} - 1|} [/mm] = [mm] \frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}})\right|}\ [/mm] = [mm] \frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}\right|} [/mm]

Wegen [mm] |e^{\frac{ix}{2}}| [/mm] = 1



Wäre das soweit korrekt (insbesondere die letzte Argumentation [mm] |e^{\frac{ix}{2}}| [/mm] = 1 ?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Umformung e^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:21 Mi 09.08.2017
Autor: fred97


>
> > > 2) Wieso ergibt sich
>  >  >  
> > > [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
>
> > du solltest die betragsstriche, die du verschlsmpert hast,  
> > anbringen und im zähler [mm]e^{ix}[/mm] ausklammern
>
> Hallo Fred,
>  sorry, habe mein Schlampermäppchen mal weggelegt [happy]
>  
> Klammert man [mm]e^{ix}[/mm] aus, so ergibt sich:
>  
> [mm]\left| \frac{e^{inx} \cdot{} e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]\left| \frac{e^{ix} \cdot{} (e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]|e^{ix}|[/mm] * [mm]\left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right|[/mm]
> = [mm]\left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right|[/mm]
>  
> wegen [mm]|e^{ix}|[/mm] = 1.
>  
>
> Weiter ist [mm]\left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| \le \frac{2}{|e^{ix} - 1|}[/mm]
> = [mm]\frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}})\right|}\[/mm]
> = [mm]\frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}\right|}[/mm]
>  
> Wegen [mm]|e^{\frac{ix}{2}}|[/mm] = 1
>  
>
>
> Wäre das soweit korrekt (insbesondere die letzte
> Argumentation [mm]|e^{\frac{ix}{2}}|[/mm] = 1 ?
>  

alles bestens !




>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                                
Bezug
Umformung e^x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Mi 09.08.2017
Autor: X3nion

Alles klar, Danke nochmals!

X3nion

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