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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Umkehrfunktion
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Umkehrfunktion: Eine Variable
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Di 07.04.2015
Autor: b.reis

Aufgabe
[mm] f(x)=-x^2+2*x+3 [/mm]

bestimmen Sie die Umkehrfunktion

Hallo,

Ich habe eine Variable in der Aufgabe, aber ich kann so nicht nach y auflösen für die Umkehr Funktion. Wie verrechne ich [mm] \wurzel{-(x+3)}=x+ x^{0,5} [/mm]

[mm] -(x+3)^{0,5} [/mm] = [mm] x^{1,5} [/mm]


Stimmt das soweit ? ich habe Keine Ahnung wie ich auf mein x komme,

jemand ne Idee und kann was vorrechnen ?


Danke

benni

        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Di 07.04.2015
Autor: angela.h.b.


> [mm]f(x)=-x^2+2*x+3[/mm]
>  
> bestimmen Sie die Umkehrfunktion

  

> jemand ne Idee und kann was vorrechnen ?

Hallo,

das Kochrezept für das Bilden der Umkehrfunktion geht ja so:

1. y=f(x) nach x auflösen
2. x und y vertauschen.

"Normalerweise" würde man vorm Rechnen erstmal gucken/überlegen, in welchen Bereichen die Funktion f überhaupt umkehrbar ist - ich mache das jetzt nicht, weil ich nicht weiß, ob Ihr solche betrachtungen zuvor anstellt, sondern ich lege einfach mal los:

[mm] y=-x^2+2x+3 [/mm]

Hier haben wir eine quadratische Gleichung nach der Variablen x aufzulösen. Das y behandeln wir so, als stünde dort eine Zahl.

Fürs Lösen der quadratischen Gleichung kann man z.B. die pq-Formel nehmen.

[mm] y=-x^2+2x+3 \qquad\quad [/mm] |-y

[mm] 0=-x^2+2x+3-y\qquad\quad [/mm] |*-1

[mm] 0=x^2-2x-3+y [/mm]

p=-2 [mm] \qquad\quad [/mm] q=-3+y=y-3.

pq-Formel verwenden:

[mm] x=1\pm \wurzel{1-(y-3)}=1\pm\wurzel{4-y} [/mm]


Jetzt Variablen vertauschen

[mm] y=1\pm\wurzel{4-x}. [/mm]

Wir stellen fest: es muß gelten [mm] x\le [/mm] 4,
und: wir bekommen zwei Umkehrfunktionen,
nämlich

[mm] y=1+\wurzel{4-x} [/mm]
und
[mm] y=1-\wurzel{4-x}. [/mm]

Die erste ist für die "rechte Seite" der Parabel [mm] f(x)=-x^2+2x+3, [/mm]
die zweite für die linke.

LG Angela

Bezug
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