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Umkehrfunktion bilden: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mo 08.12.2014
Autor: dodo1924

Aufgabe
Untersuchen Sie die Funktion f: [mm] (0,+\infty) [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{x^2-3}{x} [/mm] auf Injektivität und Surjektivität. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f und stellen Sie f und f^-1 graphisch dar.

Hi!

Bei der Aufgabe habe ich Injektivität bereits gezeigt.
Jetzt stecke ich bei der Surjektivität fest...

Es muss ja gelten, dass für alle [mm] y\in\IR [/mm] ein [mm] x\in(0,+\infty) [/mm] existiert mit f(x) = y

also forme ich um:
y = [mm] \bruch{x^2-3}{x} \gdw yx=x^2-3 \gdw yx+3=x^2 \gdw... [/mm]

Hier grübel ich schon seit einer stunde rum, wie ich weiter umformen sollte, komm aber nicht drauf :P

Schlussendlich muss ja ein term der form x=... rauskommen, wobei ich von diesem term dann ja auch gleich die inverse funktion herauslesen kann, nicht?
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

        
Bezug
Umkehrfunktion bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:41 Mo 08.12.2014
Autor: hanspeter.schmid


> [mm]yx=x^2-3 \gdw yx+3=x^2 \gdw...[/mm]
>  
> Hier grübel ich schon seit einer stunde rum, wie ich
> weiter umformen sollte, komm aber nicht drauf :P

Und jetzt alles auf eine Seite:

[mm] $x^2 [/mm] - yx - 3 = 0$

Das wär dann eine quadratische Gleichung in $x$; die kannst Du lösen, oder?

Gruss,
Hanspeter

Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Mo 08.12.2014
Autor: dodo1924

Super, danke!
Eigentlich einfach! Oft sieht man den wald vor lauter bäumen nicht :P

Jetzt komme ich auf

[mm] x_{1,2}=\bruch{1}{2}*(y+-\wurzel{y^2+12} [/mm]

Da ich die inverse Funktion suche, und eine Funktion ja immer rechtseindeutig sein muss, kann das ja nicht die inverse Funktion sein, oder?
Was muss ich hier noch beachten?

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktion bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mo 08.12.2014
Autor: fred97


> Super, danke!
>  Eigentlich einfach! Oft sieht man den wald vor lauter
> bäumen nicht :P
>  
> Jetzt komme ich auf
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1}{2}*(y+-\wurzel{y^2+12}[/mm]

Stimmt.

In der Aufgabenstellung steht:   f: $ [mm] (0,+\infty) [/mm] $ --> $ [mm] \IR, [/mm] $ f(x) = $ [mm] \bruch{x^2-3}{x} [/mm] $.

Somit ist x>0

Für was entscheidest Du Dich also:

für  [mm]x=\bruch{1}{2}*(y+\wurzel{y^2+12})[/mm]

oder


für [mm]x=\bruch{1}{2}*(y-\wurzel{y^2+12})[/mm] ?

FRED

>  
> Da ich die inverse Funktion suche, und eine Funktion ja
> immer rechtseindeutig sein muss, kann das ja nicht die
> inverse Funktion sein, oder?
>  Was muss ich hier noch beachten?


Bezug
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