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Umkreisradius von Polygon: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:43 Sa 09.12.2017
Autor: ms2008de

Hallo,

mich würde intressieren, ob man nur aus den vorgegebenen Seitenlängen [mm] \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, [/mm] ... eines Polygons dessen Umkreisradius bestimmen kann und wenn ja, wie? Selbstverständlich weiß ich, dass nicht jedes Polygon einen Umkreis besitzt, aber mal davon ausgehend, das Polygon besitze einen Umkreis...

Mir ist klar, dass wenn ich die benachbarten Punkte des Polygons mit dem Umkreismittelpunkt verbinden würde, ich lauter gleichschenklige Dreiecke bekommen würde, jede Seite fungiert quasi als Sehne des Umkreises, die Schenkel hätten jeweils die Länge des Umkreisradius, wobei sich die Mittelsenkrechten/Höhen der einzelnen Seiten des Polygons im Umkreismittelpunkt treffen. Aber ich weiß leider gar nichts über die einzelnen Winkel...

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

ms2008de

        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote


> Hallo,
>  
> mich würde intressieren, ob man nur aus den vorgegebenen
> Seitenlängen [mm]\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD},[/mm]
> ... eines Polygons dessen Umkreisradius bestimmen kann und
> wenn ja, wie? Selbstverständlich weiß ich, dass nicht
> jedes Polygon einen Umkreis besitzt, aber mal davon
> ausgehend, das Polygon besitze einen Umkreis...

Hallo,
das geht nicht, der Umkreis hängt bei gegebenen Seitenlängen auch von den Winkeln ab. Nimm beispielsweise vier Seiten der Länge 1, die eine Raute bilden. Dann ist der Durchmesser (also der doppelte Radius) des Umkreises gleich der längeren der beiden Diagonalen. Im Fall rechter Winkel (also eines Quadrats) ist dieser gleich [mm]\sqrt{2}[/mm]. Sind zwei Winkel nahe 0 und die anderen beiden nahe 180 Grad, so ist die Länge der längeren Diagonale nahe 2.

>  
> Mir ist klar, dass wenn ich die benachbarten Punkte des
> Polygons mit dem Umkreismittelpunkt verbinden würde, ich
> lauter gleichschenklige Dreiecke bekommen würde, jede
> Seite fungiert quasi als Sehne des Umkreises, die Schenkel
> hätten jeweils die Länge des Umkreisradius, wobei sich
> die Mittelsenkrechten/Höhen der einzelnen Seiten des
> Polygons im Umkreismittelpunkt treffen. Aber ich weiß
> leider gar nichts über die einzelnen Winkel...
>  
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe im Voraus.
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>
> ms2008de


Bezug
                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Sa 09.12.2017
Autor: ms2008de


> Hallo,
>  das geht nicht, der Umkreis hängt bei gegebenen
> Seitenlängen auch von den Winkeln ab. Nimm beispielsweise
> vier Seiten der Länge 1, die eine Raute bilden. Dann ist
> der Durchmesser (also der doppelte Radius) des Umkreises
> gleich der längeren der beiden Diagonalen. Im Fall rechter
> Winkel (also eines Quadrats) ist dieser gleich [mm]\sqrt{2}[/mm].
> Sind zwei Winkel nahe 0 und die anderen beiden nahe 180
> Grad, so ist die Länge der längeren Diagonale nahe 2.

Soweit mir bekannt ist, hat lediglich die rechtwinklige Raute (also mit anderen Worten: das Quadrat) einen Umkreis... jede Raute hat jedoch einen Inkreis?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 09.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,
> > Hallo,
> > das geht nicht, der Umkreis hängt bei gegebenen
> > Seitenlängen auch von den Winkeln ab. Nimm beispielsweise
> > vier Seiten der Länge 1, die eine Raute bilden. Dann ist
> > der Durchmesser (also der doppelte Radius) des Umkreises
> > gleich der längeren der beiden Diagonalen. Im Fall rechter
> > Winkel (also eines Quadrats) ist dieser gleich [mm]\sqrt{2}[/mm].
> > Sind zwei Winkel nahe 0 und die anderen beiden nahe 180
> > Grad, so ist die Länge der längeren Diagonale nahe 2.

>

> Soweit mir bekannt ist, hat lediglich die rechtwinklige
> Raute (also mit anderen Worten: das Quadrat) einen
> Umkreis... jede Raute hat jedoch einen Inkreis?

Genau so ist es. donquijote hat eventuell deine Frage falsch verstanden.

Gruß, Diophant

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Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:31 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote

Hallo nochmal,
wir war bei der Definition des Umkreises leider nicht bewusst, dass dieser durch alle Ecken gehen muss. Wenn das so ist, dann ist der Radius durch die Seitenlängen wohl doch eindeutig bestimmt. Meine Überlegung dazu:
Eine Seite der Länge a, deren Endpunkte beide auf einem Kreis mit Radius r leigen, "belegt" einen Kreissektor mit Bogenmaß [mm]2\arcsin\left(\frac{a}{2r}\right)[/mm] (Betrachte das rechtwinklige Dreieck, dass die Mitte der Seite, einen Endpunkt und den Kreismittelpunkt als Ecken hat).
Sind nun die Seitenlängen [mm]a_1,...,a_n[/mm] gegeben, so muss gelten
[mm]\sum_{k=1}^n2\arcsin\left(\frac{a_k}{2r}\right)=2\pi[/mm], wodurch r eindeutig festgelegt ist.

Bezug
                                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:41 Sa 09.12.2017
Autor: Diophant

Hallo donquijote,

> Hallo nochmal,
> wir war bei der Definition des Umkreises leider nicht
> bewusst, dass dieser durch alle Ecken gehen muss. Wenn das
> so ist, dann ist der Radius durch die Seitenlängen wohl
> doch eindeutig bestimmt. Meine Überlegung dazu:
> Eine Seite der Länge a, deren Endpunkte beide auf einem
> Kreis mit Radius r leigen, "belegt" einen Kreissektor mit
> Bogenmaß [mm]2\arcsin\left(\frac{a}{2r}\right)[/mm] (Betrachte das
> rechtwinklige Dreieck, dass die Mitte der Seite, einen
> Endpunkt und den Kreismittelpunkt als Ecken hat).
> Sind nun die Seitenlängen [mm]a_1,...,a_n[/mm] gegeben, so muss
> gelten
> [mm]\sum_{k=1}^n2\arcsin\left(\frac{a_k}{2r}\right)=2\pi[/mm],
> wodurch r eindeutig festgelegt ist.

Ja, das klingt schlüssig. Aber sehe ich das richtig: r ist zwar festgelegt, aber die obige Gleichung nach r aufzulösen dürfte schwierig werden...


Gruß, Diophant
 

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Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote


> Hallo donquijote,
>  
> > Hallo nochmal,
>  > wir war bei der Definition des Umkreises leider nicht

>  > bewusst, dass dieser durch alle Ecken gehen muss. Wenn

> das
>  > so ist, dann ist der Radius durch die Seitenlängen

> wohl
>  > doch eindeutig bestimmt. Meine Überlegung dazu:

>  > Eine Seite der Länge a, deren Endpunkte beide auf

> einem
>  > Kreis mit Radius r leigen, "belegt" einen Kreissektor

> mit
>  > Bogenmaß [mm]2\arcsin\left(\frac{a}{2r}\right)[/mm] (Betrachte

> das
>  > rechtwinklige Dreieck, dass die Mitte der Seite, einen

>  > Endpunkt und den Kreismittelpunkt als Ecken hat).

>  > Sind nun die Seitenlängen [mm]a_1,...,a_n[/mm] gegeben, so muss

>  > gelten

>  > [mm]\sum_{k=1}^n2\arcsin\left(\frac{a_k}{2r}\right)=2\pi[/mm],

>  > wodurch r eindeutig festgelegt ist.

>  
> Ja, das klingt schlüssig. Aber sehe ich das richtig: r ist
> zwar festgelegt, aber die obige Gleichung nach r
> aufzulösen dürfte schwierig werden...

Hallo Diophant,
damit hast du sicherlich recht, aber wozu gibt es Näherungsverfahren ...
Die Formel zeigt zumindest zweierlei. Nämlich zum einen, dass der Radius des Umkreises nicht von der Anordnung der Seiten abhängt. Und zum anderen, dass es zu gegebenen Seitenlängen mit vorgegebener Reihenfolge ein eindeutiges Polygon mit diesen Seitenlängen gibt, welches einen Umkreis besitzt. Denn sobald der Radius bestimmt ist, ist es auch kein Problem mehr, die Innenwinkel zu berechnen.
Probleme könnte es in dem Fall geben, dass eine Seite "zu lang" im Verhältnis zu den übrigen Seiten ist, dazu müsste man noch eine Bedingung aufstellen, dazu bräuchte es noch eine Voraussetzung, die ich mir noch nicht überlegt habe.
Ergänzung: Auf der sicheren Seite sollte man sein, wenn die Summe der übrigen Seitenlängen mindestens das [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]-fache der größten Seitenlänge beträgt.

>  
>
> Gruß, Diophant
>   


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Umkreisradius von Polygon: regelmäßiges n-Eck
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Sa 09.12.2017
Autor: rabilein1


>  Sind nun die Seitenlängen [mm]a_1,...,a_n[/mm] gegeben, so muss  gelten

>  [mm]\sum_{k=1}^n2\arcsin\left(\frac{a_k}{2r}\right)=2\pi[/mm]

> wodurch r eindeutig festgelegt ist.

Für den Spezialfall, dass alle Seiten gleichlang sind (regelmäßiges n-Eck), könnte man daraus schließen, dass dann gilt:

[mm]arcsin\left(\bruch{a}{2r}\right)=\bruch{\pi}{n}[/mm]  [mm] \Rightarrow[/mm]   [mm] a = 2r*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)[/mm]

Ist das die allgemeine Formel, um bei einem regelmäßigen n-Eck vom Umkreis auf die Seitenlängen zu schließen?




Bezug
                                        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Sa 09.12.2017
Autor: ms2008de

> Für den Spezialfall, dass alle Seiten gleichlang sind
> (regelmäßiges n-Eck), könnte man daraus schließen, dass
> dann gilt:
>  
> [mm]arcsin\left(\bruch{a}{2r}\right)=\bruch{\pi}{n}[/mm]  
> [mm]\Rightarrow[/mm]   [mm]a = 2r*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)[/mm]
>  
> Ist das die allgemeine Formel, um bei einem regelmäßigen
> n-Eck vom Umkreis auf die Seitenlängen zu schließen?
>

Exakt


Bezug
                                                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Fläche von regelmäßigem n-Eck
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 So 10.12.2017
Autor: rabilein1

Aufgabe
>  > Für den Spezialfall, dass alle Seiten gleichlang sind

> > (regelmäßiges n-Eck), könnte man daraus schließen, dass
> > dann gilt:
>  >  
> > [mm]arcsin\left(\bruch{a}{2r}\right)=\bruch{\pi}{n}[/mm]  
> > [mm]\Rightarrow[/mm]   [mm]a = 2r*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)[/mm]
>  >  
> > Ist das die allgemeine Formel, um bei einem regelmäßigen
> > n-Eck vom Umkreis auf die Seitenlängen zu schließen?
> >
>
> Exakt

Unter Zuhilfenahme obiger Formel müsste sich doch auch die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks ausdrücken lassen.

Meine Überlegung:
Ein regelmäßiges n-Eck lässt sich in n Dreiecke zerlegen, deren Flächen sich mithilfe der Seitenlängen (Formel dafür: siehe oben) und Höhe ausdrücken lassen. Die Höhe wiederum lässt sich über Pythagoras durch Radius und Seitenlänge ausrechnen.

Am Ende hatte ich dann folgende Formel raus:

[mm]F = n*r^{2}*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)*\wurzel{1-sin^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)}[/mm]

Ich bin aber nicht ganz sicher, ob das so richtig ist.
Kann man die Formel noch weiter "verdichten"?


Bezug
                                                        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 10.12.2017
Autor: ms2008de

Hallo,
>  Meine Überlegung:
>  Ein regelmäßiges n-Eck lässt sich in n Dreiecke
> zerlegen, deren Flächen sich mithilfe der Seitenlängen
> (Formel dafür: siehe oben) und Höhe ausdrücken lassen.
> Die Höhe wiederum lässt sich über Pythagoras durch
> Radius und Seitenlänge ausrechnen.
>  
> Am Ende hatte ich dann folgende Formel raus:
>  
> [mm]F = n*r^{2}*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)*\wurzel{1-sin^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)}[/mm]
>  
> Ich bin aber nicht ganz sicher, ob das so richtig ist.
>  Kann man die Formel noch weiter "verdichten"?

>

Das stimmt soweit.
Ja, man kann die Formel noch weiter umformen mit Hilfe der Additionstheoreme:
  
A= [mm] n*r^{2}*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)*\wurzel{1-sin^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)} [/mm] = [mm] n*r^{2}*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)*\wurzel{sin^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)+cos^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)-sin^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)} [/mm] =  [mm] n*r^{2}*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)*cos\left(\bruch{\pi}{n}\right) [/mm] = [mm] \bruch{n*r^{2}}{2}*sin\left(\bruch{2\pi}{n}\right) [/mm]

Viele Grüße

Bezug
                                                                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:17 So 10.12.2017
Autor: rabilein1

    
> A = [mm]n*r^{2}*sin\left(\bruch{\pi}{n}\right)*\wurzel{1-sin^{2}\left(\bruch{\pi}{n}\right)}[/mm]  =  [mm]\bruch{n*r^{2}}{2}*sin\left(\bruch{2\pi}{n}\right)[/mm]


Ja, der Ausdruck rechts sieht einfacher aus. Darauf wäre ich selber so nicht gekommen.  Danke

Bezug
                                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Sa 09.12.2017
Autor: ms2008de

Hallo,
>  wir war bei der Definition des Umkreises leider nicht
> bewusst, dass dieser durch alle Ecken gehen muss. Wenn das
> so ist, dann ist der Radius durch die Seitenlängen wohl
> doch eindeutig bestimmt. Meine Überlegung dazu:
>  Eine Seite der Länge a, deren Endpunkte beide auf einem
> Kreis mit Radius r leigen, "belegt" einen Kreissektor mit
> Bogenmaß [mm]2\arcsin\left(\frac{a}{2r}\right)[/mm] (Betrachte das
> rechtwinklige Dreieck, dass die Mitte der Seite, einen
> Endpunkt und den Kreismittelpunkt als Ecken hat).
>  Sind nun die Seitenlängen [mm]a_1,...,a_n[/mm] gegeben, so muss
> gelten
>  [mm]\sum_{k=1}^n2\arcsin\left(\frac{a_k}{2r}\right)=2\pi[/mm],
> wodurch r eindeutig festgelegt ist.

Vielen Dank für die Hilfe. Der Ansatz übers Bogenmaß ist sehr schlüssig. Darauf bin ich leider nicht gekommen.

Viele Grüße
ms2008de

Bezug
        
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Umkreisradius von Polygon: Frage: Statuslos
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Sa 09.12.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

möchtest du mir verraten, weshalb du deine Eingangsfrage, die von donquijote bereits beantwortet wurde, jedesmal auf "Statuslos" setzt?

Wenn an der Antwort etwas unklar sein sollte, kannst du beliebig viele Rückfragen stellen. Aber auf die Eingangsfrage wurde angemessen reagiert.

LG,
ChopSuey



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Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 Sa 09.12.2017
Autor: ms2008de

Hallo,
> Hallo,
>  
> möchtest du mir verraten, weshalb du deine Eingangsfrage,
> die von donquijote bereits beantwortet wurde, jedesmal auf
> "Statuslos" setzt?
>
> Wenn an der Antwort etwas unklar sein sollte, kannst du
> beliebig viele Rückfragen stellen. Aber auf die
> Eingangsfrage wurde angemessen reagiert.

Weil die Antwort von donquijote auf die Eingangsfrage leider fehlerhaft ist und somit mMn nicht beantwortet wurde...? Er antwortet mir damit, dass man ohne Winkel und nur aus der Angabe der Seitenlängen eines Polygons keinen Umkreisradius bestimmen kann und wählt als falsches Beispiel die Raute, denn die hat nur dann einen Umkreis, wenn die Raute ein Quadrat ist ...

Viele Grüße

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Bezug
Umkreisradius von Polygon: Vorgehensweise war korrekt!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Sa 09.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > möchtest du mir verraten, weshalb du deine Eingangsfrage,
> > die von donquijote bereits beantwortet wurde, jedesmal auf
> > "Statuslos" setzt?
> >
> > Wenn an der Antwort etwas unklar sein sollte, kannst du
> > beliebig viele Rückfragen stellen. Aber auf die
> > Eingangsfrage wurde angemessen reagiert.

>

> Weil die Antwort von donquijote auf die Eingangsfrage
> leider fehlerhaft ist und somit mMn nicht beantwortet
> wurde...? Er antwortet mir damit, dass man ohne Winkel und
> nur aus der Angabe der Seitenlängen eines Polygons keinen
> Umkreisradius bestimmen kann und wählt als falsches
> Beispiel die Raute, denn die hat nur dann einen Umkreis,
> wenn die Raute ein Quadrat ist ...

Deine Vorgehensweise hier ist völlig berechtigt und der Umgang der Moderation damit entspricht der grausigen Verfassung dieses Forums.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Sa 09.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> mich würde intressieren, ob man nur aus den vorgegebenen
> Seitenlängen [mm]\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD},[/mm]
> ... eines Polygons dessen Umkreisradius bestimmen kann und
> wenn ja, wie? Selbstverständlich weiß ich, dass nicht
> jedes Polygon einen Umkreis besitzt, aber mal davon
> ausgehend, das Polygon besitze einen Umkreis...

>

Wie schon gesagt wurde: das geht nicht (bis auf Dreiecke, dort ist es trivial).

Sicherlich ist dir aus der Schule bekannt, dass man 3 Angaben braucht, um ein Dreieck eindeutig festzulegen, für ein Viereck sind es schon 5, für ein Fünfeck 7 und allgemein für ein n-Eck also 2n-3 Angaben.

Bei deiner Problemstellung verfügst du jedoch über genau n Angaben, da du ja die Seitenlängen alle kennst aber keinen Winkel. Deine Vielecke sind somit nicht eindeutig festgelegt, und damit auch nicht der Radius des angenommenen Umkreises.

EDIT:
Ich habe mich geirrt. donquijote hat weiter oben noch eine Mitteilung verfasst mit einer interssanten Idee. Verfolgen wir am besten das Problem dort weiter.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Sa 09.12.2017
Autor: ms2008de

Danke schon Mal.
> Wie schon gesagt wurde: das geht nicht (bis auf Dreiecke,
> dort ist es trivial).
>  
> Sicherlich ist dir aus der Schule bekannt, dass man 3
> Angaben braucht, um ein Dreieck eindeutig festzulegen, für
> ein Viereck sind es schon 5, für ein Fünfeck 7 und
> allgemein für ein n-Eck also 2n-3 Angaben.
>  
> Bei deiner Problemstellung verfügst du jedoch über genau
> n Angaben, da du ja die Seitenlängen alle kennst aber
> keinen Winkel. Deine Vielecke sind somit nicht eindeutig
> festgelegt, und damit auch nicht der Radius des
> angenommenen Umkreises.
>  

Sicherlich braucht man mehr Angaben als beispielsweise nur 4 Seitenlängen um ein 4-Eck eindeutig zu konstruieren. ABER: bestehen die möglicherweise fehlenden Angaben für die eindeutige Konstruktion eines Polygons nicht etwa darin, dass man vorgibt, das Polygon soll einen Umkreis besitzen?

Um nochmals auf die ursprüngliche Antwort von donquijote zurückzukommen: Wenn ich ein Viereck mit den 4 Seitenlängen von 1 habe und weiß, dass dieses Viereck einen Umkreis hat, dann weiß ich doch, dass dieses Viereck ein Quadrat ist und somit wird die Konstruktion + alle Winkel  wiederum eindeutig?

Viele Grüße

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Bezug
Umkreisradius von Polygon: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Sa 09.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke schon Mal.
> > Wie schon gesagt wurde: das geht nicht (bis auf
> Dreiecke,
> > dort ist es trivial).
> >
> > Sicherlich ist dir aus der Schule bekannt, dass man 3
> > Angaben braucht, um ein Dreieck eindeutig festzulegen, für
> > ein Viereck sind es schon 5, für ein Fünfeck 7 und
> > allgemein für ein n-Eck also 2n-3 Angaben.
> >
> > Bei deiner Problemstellung verfügst du jedoch über genau
> > n Angaben, da du ja die Seitenlängen alle kennst aber
> > keinen Winkel. Deine Vielecke sind somit nicht eindeutig
> > festgelegt, und damit auch nicht der Radius des
> > angenommenen Umkreises.
> >

>

> Sicherlich braucht man mehr Angaben als beispielsweise nur
> 4 Seitenlängen um ein 4-Eck eindeutig zu konstruieren.
> ABER: bestehen die möglicherweise fehlenden Angaben für
> die eindeutige Konstruktion eines Polygons nicht etwa
> darin, dass man vorgibt, das Polygon soll einen Umkreis
> besitzen?

Ja, ich hatte mich ja eben dahingehend geirrt (es ist eine nicht ganz alltägliche, aber sehr interessante Fragestellung).

> Um nochmals auf die ursprüngliche Antwort von donquijote
> zurückzukommen: Wenn ich ein Viereck mit den 4
> Seitenlängen von 1 habe und weiß, dass dieses Viereck
> einen Umkreis hat, dann weiß ich doch, dass dieses Viereck
> ein Quadrat ist und somit wird die Konstruktion + alle
> Winkel wiederum eindeutig?

Ja, genau so ist es. Und ich verweise nochmals auf die Mitteilung, die donquijote zu seiner ersten Antwort nachgereicht hat!

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Ausnahmefall, ganzz. Lösungen?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:30 So 10.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Tag,

gerade habe ich mich (in etwas anderem Zusammenhang)
recht ausführlich mit dieser Frage beschäftigt.
Tatsächlich ist es möglich, aus den vorgegebenen Seiten-
längen eines konvexen Sehnenvielecks dessen Umkreisradius
zu bestimmen. Donquijote hat schon angegeben, wie man
mittels der Summe
            [mm] $\summe_{i=1}^n 2\, arcsin(\frac{a_i}{2 r})$ [/mm]
eine Gleichung für den Radius aufstellen kann, welche
zwar im Allgemeinen nur numerisch gelöst werden kann,
aber den Radius doch eindeutig festlegt.
Die Gleichung muss allerdings in jenen Fällen modifiziert
werden, wo der Umkreismittelpunkt außerhalb des ihm
einbeschriebenen Sehnenvielecks liegt! In diesem Fall
erhält man durch die Addition aller arcsin-Terme nämlich
nicht die Summe 2π, sondern es gilt dann:

         [mm] $\summe_{i=1}^{n-1} 2\, arcsin(\frac{a_i}{2 r})\ [/mm] =\ [mm] 2\, arcsin(\frac{a_n}{2 r})$ (a_n [/mm] längste Seite)

Notwendige Bedingung, damit es überhaupt (mindestens)
eine Lösung gibt, ist einfach die, dass jede einzelne Seite
(und insbesondere die längste von allen!) kürzer sein muss
als die Summe aller übrigen. Das ist die Verallgemeinerung
der "Dreiecksungleichung". Diese Forderung reicht auch aus,
wie man leicht einsehen kann:
wenn wir Stäbe der Längen [mm] a_1, a_2, [/mm] .... [mm] a_n [/mm]  zuerst einfach
mittels Gelenken an ihren Enden zu einer geschlossenen
Kette zusammenfügen (wenn die Bedingung erfüllt ist,
geht dies), dann kann man dieses zunächst noch gelenkige
Vieleck stetig und unter Beibehaltung seiner Seitenlängen
so verformen, dass es schließlich genau in einen Umkreis
passt. Mittels Geogebra könnte man dazu auch eine schöne
App erstellen, bei welcher man mit einem zu großen Umkreis
anfängt und die n Seiten der Reihe nach als Sehnen
aneinanderfügt. Das Vieleck schließt sich zuerst noch nicht,
da der Kreis zu groß ist. Nun kann man den Kreisradius
sukzessive verkleinern, bis sich die noch verbliebene Lücke
zwischen Startpunkt [mm] A_0 [/mm]  und dem Endpunkt [mm] A_n [/mm]  exakt
schließt. Damit ist der richtige Umkreisradius r gefunden.

Wie man allein aus den vorgegebenen Seitenlängen [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n [/mm]
den oben angesprochenen "Sonderfall" erkennt, für den die
Gleichung modifiziert werden muss, ist jetzt natürlich noch
eine interessante Nebenfrage.

Ich habe mir dann speziell die Frage nach Sehnenvielecken
mit ganzzahligen (und relativ kleinen) Seitenlängen und
auch ganzzahligem Radius gestellt. Beispielsweise diese:
Welche vier verschiedenen (und möglichst kleinen) natürlichen
Zahlen a,b,c,d (mit a<b<c<d) ergeben 4 Sehnen, welche
genau in einen Halbkreis (!) mit einem ebenfalls ganz-
zahligen Radius passen ?

(Leider kann ich mich in den nächsten paar Tagen hier nicht
weiter beteiligen, werde aber etwa in einer Woche wieder
reinschauen, was sich getan hat).


LG ,   Al-Chw.  

Bezug
                
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Entscheidungskriterium
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Mo 11.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend

Ich habe die Frage, die ich im vorigen Artikel noch gestellt habe, inzwischen lősen kőnnen:  Wie entscheidet man aufgrund der gegebenen Sehnenlaengen allein, welche der beiden in Frage kommenden Gleichungen man zur Berechnung des Umkreisradius verwenden muss ?

Dazu kann man sich zunaechst einen Kreis denken, dessen Durchmesser der laengsten Sehne entspricht. In diesen Kreis legt man aneinander Sehnen mit den űbrigen Laengen. Genau dann, wenn diese Sehnen insgesamt mehr als den halben Hilfskreis beanspruchen, liegt der "Normalfall" vor, in welchem die erste besprochene Formel gilt:

Die Summe aller  arcsin(a(i)/2 r)   (wobei i von 1 bis n laeuft)  muss die Summe Pi  ergeben.  Aus dieser Gleichung ergibt sich dann (numerisch) der Wert fűr den Radius r.

Im anderen Fall, wenn also die (n-1) űbrigen Sehnen einen gesamten Zentriwinkel von weniger als 180 Grad ergeben, nimmt man die andere Formel, die ich auch schon erwaehnt hatte.

Leider kann ich momentan hier keine Formeln schreiben - ich werde aber wenn nőtig spaeter noch auf Details eingehen kőnnen.

Beste Grűsse aus Budapest ...

Al-Chwarizmi



Bezug
        
Bezug
Umkreisradius von Polygon: Programm für Umkreisradius
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Do 21.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Im Anschluss an die oben gestellte Frage habe ich
ein Programm erstellt, das für eine Liste von Sehnen-
längen den Radius des Umkreises berechnet, in welchen
ein Sehnenvieleck mit diesen Seitenlängen passen
würde.

Für Interessierte gebe ich es hier an. Möglicherweise
ist die Programmiersprache  (TI-Basic)  für einige
eher ungewohnt; trotzdem sollte es keine große Mühe
bereiten, das Programm inhaltlich zu verstehen.

------------------------------------------------------
:umkreisr(list)
:Func
:Local m,n,s,ws,r,out
:dim(list) [mm] \to [/mm] n
:max(list) [mm] \to [/mm] m
[mm] :\summe [/mm] (list[i],i,1,n) [mm] \to [/mm] s
[mm] :\summe (sin^{-1}(list[i]/m),i,1,n) \to [/mm] ws
:If n<3 Then
:"zu wenige Seiten" [mm] \to [/mm] out
:Else
:If [mm] s\le [/mm] 2*m Then
:"kein Sehnenvieleck" [mm] \to [/mm] out
:Else
:If [mm] ws>\pi [/mm] Then
:nSolve [mm] (\summe (sin^{-1}(list[i]/(2*r)),i,1,n)=\pi [/mm] , r) [mm] \to [/mm] out
:Else
:nSolve [mm] (\summe (sin^{-1}(list[i]/(2*r)),i,1,n)=2*sin^{-1}(m/(2*r)) [/mm] , r) [mm] \to [/mm] out
:Return out
:Endif
:Endif
:Endif
:EndFunc
------------------------------------------------------

Einige Beispiele:

umkreisr({1,2})            ------>    "zu wenige Seiten"

umkreisr({1,2,3})          ------>    "kein Sehnenvieleck"

umkreisr({1,2,3,4})        ------>    2.003  

umkreisr({6,8,10})         ------>    5.000

umkreisr({80,91,125,195,325})    ------>    162.500

(in den letzten beiden Beispielen ist die längste Seite ein
Umkreisdurchmesser)


LG ,   Al-Chwarizmi

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