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Forum "komplexe Zahlen" - Umrechnung
Umrechnung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Umrechnung: mögliche Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Fr 07.11.2008
Autor: maureulr

Aufgabe
[ ( 1 - i ) / ( 1 + i ) ] = z

Umformen in z = a + bi  und [mm] z=r*e^{i\alpha} [/mm]




=> z = [mm] i^{2} [/mm] = -1 - ( - 0 ) i

d.h. r=1  , cos [mm] \alpha [/mm] = -1 , sin [mm] \alpha [/mm] = 0

=> z = [mm] 1*e^{i\pi} [/mm] = [mm] e^{i\pi} [/mm]

Könnte die Aufgabe jemand durchsehen ?

vielen Dank

Grüsse Ulli

        
Bezug
Umrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Fr 07.11.2008
Autor: reverend

Wie kommst Du denn auf [mm] z=i^2 [/mm] ? Das ist nicht richtig.

Zur Auflösung der gegebenen Gleichung möchtest Du doch erst einmal den Nenner reell haben...
Da steht aber (1+i). Finde einen Faktor, mit dem multipliziert der Imaginärteil Null wird, und erweitere den Bruch. Im Zweifelsfall helfen die binomischen Sätze sicher weiter, "oben" wie "unten".

Dann wird die Darstellung von z kein Quadrat mehr beinhalten, versprochen.

Bezug
                
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Umrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Fr 07.11.2008
Autor: maureulr

Ansatz :

binomische Formeln :

z=( [mm] i^{2} [/mm] + 2i + 1 )  /  ( [mm] i^{2} [/mm] -2i +1 )  --> [mm] i^{2} [/mm] = -1 weil [mm] \wurzel{-1}=i [/mm]

z= ( 2i  )  /  ( -2i  )  = (  i /  - i ) * ( i / i ) = [mm] i^{2} [/mm] / [mm] -i^{2} [/mm] = 1



Bezug
                        
Bezug
Umrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Fr 07.11.2008
Autor: reverend

mmmhhhh...

Wenn der Nenner komplex ist, multipliziert man gern mit der konjugiert komplexen Zahl - weißt Du, was das ist?

Bezug
                                
Bezug
Umrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Fr 07.11.2008
Autor: maureulr

Bsp:

(1 + i ) / (1- i) * (1+i )/ (1+i)

--> gedachte [ 1 ]

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Umrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Fr 07.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Ulli,

nutze doch bitte unbedingt den Formeleditor, unter dem Eingabefenster sind dutzende Formeln aufgelistet, deren Code angezeigt wird, wenn du draufklickst.

Brüche kannst du so eintippen: \bruch{a}{b} oder \frac{a}{b}, das ergibt [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm]

>  Bsp:
>  
> (1 + i ) / (1- i) * (1+i )/ (1+i)
>  
> --> gedachte [ 1 ]


Welche Aufgabe meinst du denn nun? Ganz oben steht [mm] $\frac{1-i}{1+i}$ [/mm]

Wie dem auch sei, wenn du nun die Aufgabe [mm] $\frac{1+i}{1-i}$ [/mm] meinst, hast du richtig mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweitert (es ist ja [mm] $z\cdot{}\overline{z}\in\IR$) [/mm]

Also weiter zusammenfassen: [mm] $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)\cdot{}\blue{(1+i)}}{(1-i)\cdot{}\blue{(1+i)}}=\frac{2i}{1^2+1^2}=\frac{2i}{2}=i$ [/mm]


LG

schachuzipus

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Umrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Fr 07.11.2008
Autor: maureulr

das mit eintippen von Brüchen wusste ich nicht  ! Danke auf jedenfall dafür !

das mit dem Bsp.: hatte ich nur zur verdeutlichung aufgeführt !

z = ( [mm] \bruch{1-i}{1+i} )^{2} [/mm] = [mm] \bruch{-2i}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-i}{i} [/mm] * [mm] \bruch{-i}{-i} [/mm] = - 1 = [mm] i^{2} [/mm]

wo liegt mein Fehler ?

wenn ich das selbe mit [mm] \wurzel{z} [/mm] rechne kommt auch [mm] i^{2} [/mm] raus !

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Umrechnung: Klammer vergessen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Fr 07.11.2008
Autor: Loddar

Hallo Ulli!


Du hast die Klammer mit dem "hoch 2" vergessen:
$$z \ = \ [mm] \left(\bruch{1-i}{1+i} \right)^2 [/mm] \  = \ [mm] \red{\left(}\bruch{-2i}{2}\red{\right)^2} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


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Umrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Fr 07.11.2008
Autor: reverend

Nun denn, was ist jetzt eigentlich die Aufgabe?

[mm] (\bruch{1-i}{1+i})=z [/mm]   oder


[mm] (\bruch{1-i}{1+i})^2=z [/mm]    ???

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Umrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:32 Fr 07.11.2008
Autor: maureulr

Ich muss mich entschuldigen !

Ich hatte ^{2} vergessen !

mfg Ulli

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Umrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Fr 07.11.2008
Autor: reverend

ok, kein Problem.

Ansonsten: andere Aufgabe, andere Lösung. Ich war damit auf einer anderen Spur.

Grüße

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Umrechnung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Fr 07.11.2008
Autor: maureulr

ich hoffe jetzt passt es !

mit z=i --> z=0+i  und [mm] z=e^{i*\bruch{\pi}{2}} [/mm]

vielen Dank

mfg Ulli

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Bezug
Umrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:48 Fr 07.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo,

> ich hoffe jetzt passt es !
>  
> mit z=i --> z=0+i  und [mm]z=e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]

Ja, das würde stimmen, wenn [mm] $z=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^2=i$ [/mm] wäre, es ist aber nach den obigen Hinweisen [mm] $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^2=(-i)^2=-1=z$ [/mm]

Damit bestimme nochmal die andere Darstellung mittels der e-Funktion ...

>  
> vielen Dank
>  
> mfg Ulli


LG

schachuzipus

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