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Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mi 19.08.2015
Autor: bennoman

Hallo zusammen,

ich habe gegeben, dass die Ereignisse A,B,C unabhängig seien.

Nun soll ich überprüfen, ob A [mm] \cap [/mm] B und [mm] B\cap [/mm] C unabhängig sind.
Da ich hier aber keine Zahlenwerte gegeben habe, weiß ich nicht wie ich die Unabhängigkeit überprüfen soll.

Beste Grüße
Benno

        
Bezug
Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Mi 19.08.2015
Autor: rabilein1

Am besten, du stellst dir Würfel vor. Wenn du drei Würfel wirfst, sind die Ergebnisse voneinander mit Sicherheit unabhängig.



Bezug
                
Bezug
Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:55 Do 20.08.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Am besten, du stellst dir Würfel vor. Wenn du drei Würfel
> wirfst, sind die Ergebnisse voneinander mit Sicherheit
> unabhängig.


Hallo rabilein,

natürlich könnte man mit einer Aufgabe mit 3 Würfeln
konkrete Beispiele zu unabhängigen Ereignissen machen.
Es wäre dann allerdings noch nötig, die 3 Ereignisse
A,B,C  klar zu definieren.
Und, leider:  Auch falls es gelingen sollte, unabhängige
A,B,C so zu definieren, dass  A [mm] \cap [/mm] B und  B [mm] \cap [/mm] C  unabhängig
sind, wäre damit noch nicht bewiesen, dass diese Eigenschaft
dann auch allgemein zutrifft.
Findet man allerdings ein Gegenbeispiel mit unabhängigen
A,B,C  aber abhängigen   A [mm] \cap [/mm] B und  B [mm] \cap [/mm] C  , dann dürfte
man schließen, dass die fragliche Eigenschaft eben nicht
allgemein zutrifft.

LG ,   Al

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Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:31 Do 20.08.2015
Autor: DieAcht

Hallo Benno!


Sei [mm] $(\Omega,F,P)$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. [mm] $A,B,C\in [/mm] F$ sind genau
dann unabhängig, falls sie paarweise unabhängig sind, also
falls gilt

      [mm] $P(A\cap B)=P(A)*P(B),\quad P(A\cap C)=P(A)*P(C),\quad P(B\cap [/mm] C)=P(B)*P(C)$

und zusätzlich gilt

      [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)=P(A)*P(B)*P(C)$.

Zu zeigen: [mm] $A\cap B\in [/mm] F$ und [mm] $B\cap C\in [/mm] F$ sind unabhängig, d.h.

      [mm] $P((A\cap B)\cap(B\cap C))=P(A\cap B)*P(B\cap [/mm] C)$.

Edit: Siehe Tobias Mitteilung.


Jetzt wieder du!


Gruß
DieAcht

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Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:13 Do 20.08.2015
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


> Zu zeigen: [mm]A\cap B\in F[/mm] und [mm]B\cap C\in F[/mm] sind unabhängig,
> d.h.
>  
> [mm]P((A\cap B)\cap(B\cap C))=P(A\cap B)*P(B\cap C)[/mm].

Das zu zeigen wird nicht gelingen, es stimmt nämlich im Allgemeinen nicht.


Viele Grüße
Tobias

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Bezug
Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 Do 20.08.2015
Autor: bennoman

Falls das tatsächlich nicht stimmen sollte, wie soll man denn stattdessen vorgehen?

Bezug
                                
Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 Do 20.08.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Falls das tatsächlich nicht stimmen sollte, wie soll man
> denn stattdessen vorgehen?

Wie immer in solchen Fällen:  ein Gegenbeispiel suchen und angeben !

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                                
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Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:29 Do 20.08.2015
Autor: DieAcht

Sorry für die mögliche Verwirrung und vielen Dank an Tobias!

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