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Und nochmal Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:15 Fr 10.07.2009
Autor: equity

Aufgabe
[mm] \int cos^n(x)\,dx [/mm]

Und hier komme ich ja überhaupt nicht mehr klar... heul!

So soll die Lösung aussehen:

[mm] (\frac{sinx*cosx^{n-1}x}{n}+\frac{n-1}{n}*\int cos^{n-2}x\,dx) [/mm]

Wie komme ich da hin? Und warum bleibt da immer noch ein Integral übrig?

Liebe Grüsse

        
Bezug
Und nochmal Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:27 Fr 10.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo equity,

> [mm]\int cos^n(x)\,dx[/mm]
>  Und hier komme ich ja überhaupt nicht
> mehr klar... heul!
>  
> So soll die Lösung aussehen:
>  
> [mm](\frac{sinx*cosx^{n-1}x}{n}+\frac{n-1}{n}*\int cos^{n-2}x\,dx)[/mm]
>  
> Wie komme ich da hin? Und warum bleibt da immer noch ein
> Integral übrig?

Das ist ne Rekursionsformel ...

Schreibe [mm] $\int{\left[\cos(x)\right]^n \ dx}=\int{\cos(x)\cdot{}\left[\cos(x)\right]^{n-1} \ dx}$ [/mm] und wende partielle Integration an.

[mm] ($u'(x)=\cos(x)$, $v(x)=\left[\cos(x)\right]^{n-1}$) [/mm]

Denke für die weitere Rechnung an den trigonometrischen Pythagoras: [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$ [/mm]


LG

schachuzipus

>  
> Liebe Grüsse  


Bezug
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