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Forum "Integration" - Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Uneigentliche Integrale: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mi 04.03.2015
Autor: dodo1924

Aufgabe
Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:

a) [mm] \integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx} [/mm]

[mm] b)\integral_{-\infty}^{\infty}{ x*e^{1-x^2} dx} [/mm]

[mm] c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx} [/mm]


Hi!

Ich bin in Sachen Integral leider noch nicht wirklich gut drauf (Schulmathe liegt jetzt auch schon 4 Jahre zurück), deshalb wollte ich hier nachfragen, ob meine Lösungsansätze stimmen:

zu a)

die Stammfunktion müsste hier nach meinem Fnsatz nach [mm] -\bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm] sein
nun gilt ja Folgendes:

[mm] \integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow+\infty} -\bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm] mit oberer Grenze b und unterer Grenze 4

mit den Grenzen eingesetzt ergibt das:
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{2}{\wurzel{b}} -(-\bruch{2}{\wurzel{4}}) [/mm] = 0+1 = 1
also ist das Integral konvergent, richtig??

        
Bezug
Uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mi 04.03.2015
Autor: Chris84


> Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
>  
> a) [mm]\integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}[/mm]
>  
> [mm]b)\integral_{-\infty}^{\infty}{ x*e^{1-x^2} dx}[/mm]
>  
> [mm]c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx}[/mm]
>  
> Hi!
>  
> Ich bin in Sachen Integral leider noch nicht wirklich gut
> drauf (Schulmathe liegt jetzt auch schon 4 Jahre zurück),
> deshalb wollte ich hier nachfragen, ob meine
> Lösungsansätze stimmen:
>  
> zu a)
>  
> die Stammfunktion müsste hier nach meinem Fnsatz nach
> [mm]-\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm] sein

Right ;)

>  nun gilt ja Folgendes:
>  
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow+\infty} -\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm] mit
> oberer Grenze b und unterer Grenze 4

Schreib das mal ordentlich auf:

[mm] $\integral_{4}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{3}{2}} dx}=\limes_{b\rightarrow+\infty} [-\bruch{2}{\wurzel{x}}]_{4}^{b}$ [/mm]


>  
> mit den Grenzen eingesetzt ergibt das:
>  [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{2}{\wurzel{b}} -(-\bruch{2}{\wurzel{4}})[/mm]
> = 0+1 = 1
>  also ist das Integral konvergent, richtig??

Ja.

Gruss,
Chris


Bezug
        
Bezug
Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Mi 04.03.2015
Autor: dodo1924

zu $ [mm] c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx} [/mm] $

durch Substitution erhalte ich die Stammfunktion [mm] \bruch{sin(5x)}{5} [/mm]

hier nun wieder die Grenzen eingesetzt ergibt:

[mm] \integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{sin(5x)}{5}]_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5} [/mm] - [mm] \bruch{sin(5*0)}{5} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5} [/mm]

und da der Sinus ja divergiert, divergiert hier auch das Integral, oder??

Bezug
                
Bezug
Uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mi 04.03.2015
Autor: Chris84


> zu [mm]c)\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx}[/mm]
>  
> durch Substitution erhalte ich die Stammfunktion
> [mm]\bruch{sin(5x)}{5}[/mm]

Mit ein bissel Uebung kann man das auch einfach sehen ;)

>  
> hier nun wieder die Grenzen eingesetzt ergibt:
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ cos 5x dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{sin(5x)}{5}]_{0}^{\infty}[/mm]

Gut aufgeschrieben!

> = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(5*0)}{5}[/mm] = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{sin(5b)}{5}[/mm]

Du brauchst [mm] $\sin(0)$ [/mm] ja gar nicht auszurechnen, da du ja eh gleich die Divergenz siehst. Also falsch ist es nicht, aber warum. Hier ist es zwar trivial, koennte nur Zeit kosten.

>  
> und da der Sinus ja divergiert, divergiert hier auch das
> Integral, oder??

Yes ;)

Gruss,
Chris


Bezug
        
Bezug
Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Mi 04.03.2015
Autor: dodo1924

Ein Versuch für  b) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx} [/mm]

da meine Grenzen hier [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] sind, muss ich ja ein c finden, sodass die beiden Teilintegrale
[mm] \integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{c}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm]
konvergent sind!

Sei c = 0

Zuerst habe ich versucht, wieder die Stammfunktion zu ermitteln! ist mir diesmal jedoch leider nur mit Hilfe eines Integralrechners gelungen:
[mm] \integral{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{e^{1-x^2}}{2} [/mm]

Die Vorgehensweise ist mir grob klar:
ich substituiere [mm] 1-x^2 [/mm] = u und muss dann mit partieller integration das Integral auflösen! Hab hier nur keine Ahnung, warum auf einmal das x wegfällt bzw wie die Stammfunktion jetzt konkret gebildet wird! Vielleicht könnt ihr mir das noch einmal veraunschaulichter darstellen...


Jedenfalls prüfe ich jetzt, ob meine beiden Teilintegrale konvergieren:

[mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}[-\bruch{e^{1-x^2}}{2}]_{-\infty}^{0} [/mm] = [mm] -\bruch{e^1}{2} [/mm] + [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}\bruch{e^{1-a^2}}{2} [/mm] =  [mm] -\bruch{e}{2} [/mm] + 0 = [mm] -\bruch{e}{2} [/mm]

bzw.

[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{e^{1-b^2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{e^1}{2} [/mm] = [mm] 0+\bruch{e}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2} [/mm]

also gilt, dass das Integral konvergiert und zwar gegen:

[mm] -\bruch{e}{2} [/mm] + [mm] \bruch{e}{2} [/mm] = 0

Richtig?


Bezug
                
Bezug
Uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 Mi 04.03.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Ein Versuch für  b) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx}[/mm]
>
> da meine Grenzen hier [mm]-\infty[/mm] und [mm]+\infty[/mm] sind, muss ich ja
> ein c finden, sodass die beiden Teilintegrale
>  [mm]\integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}[/mm] und
> [mm]\integral_{c}^{+\infty}{f(x) dx}[/mm]
>  konvergent sind!
>  
> Sei c = 0
>  
> Zuerst habe ich versucht, wieder die Stammfunktion zu
> ermitteln! ist mir diesmal jedoch leider nur mit Hilfe
> eines Integralrechners gelungen:
>  [mm]\integral{ x\cdot{}e^{1-x^2} dx}[/mm] = [mm]-\bruch{e^{1-x^2}}{2}[/mm]
>  
> Die Vorgehensweise ist mir grob klar:
>  ich substituiere [mm]1-x^2[/mm] = u und muss dann mit partieller
> integration das Integral auflösen! Hab hier nur keine

partielle Integration brauchst Du nicht, aber die Substitution ist richtig.
Führe die Substitution doch einfach mal durch:
[mm] $\int xe^{1-x^2}\,\mathrm{d}x$ [/mm] wird erstmal zu [mm] $\int xe^{u}\,\mathrm{d}x$ [/mm]
jetzt ersetze [mm] $\mathrm{d}x$ [/mm] durch [mm] $\mathrm{d}u$ [/mm] und staune was passiert.

> Ahnung, warum auf einmal das x wegfällt bzw wie die
> Stammfunktion jetzt konkret gebildet wird! Vielleicht
> könnt ihr mir das noch einmal veraunschaulichter
> darstellen...
>  
>
> Jedenfalls prüfe ich jetzt, ob meine beiden Teilintegrale
> konvergieren:
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}[-\bruch{e^{1-x^2}}{2}]_{-\infty}^{0}[/mm]
> = [mm]-\bruch{e^1}{2}[/mm] +
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}\bruch{e^{1-a^2}}{2}[/mm] =  
> [mm]-\bruch{e}{2}[/mm] + 0 = [mm]-\bruch{e}{2}[/mm]
>  
> bzw.
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}-\bruch{e^{1-b^2}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{e^1}{2}[/mm] = [mm]0+\bruch{e}{2}[/mm] = [mm]\bruch{e}{2}[/mm]
>  
> also gilt, dass das Integral konvergiert und zwar gegen:
>  
> [mm]-\bruch{e}{2}[/mm] + [mm]\bruch{e}{2}[/mm] = 0
>  
> Richtig?
>  

[ok]

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Do 05.03.2015
Autor: dodo1924

Aufgabe
Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:

d) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx} [/mm]

e) [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx} [/mm]

Noch 2 Aufgaben, bei denen ich unsicher bin ob sie richtig gelöst sind (wollte jetzt keinen eigenen Thread dafür öffnen):

zu d)
durch Substitution komme ich hier auf folgendes Ergebniss:

[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow1} [-\bruch{3*(1-x)^{\bruch{2}{3}}}{2}]_{0}^{b} [/mm] =

[mm] =\limes_{b\rightarrow1} -\bruch{3*(1-b)^{\bruch{2}{3}}}{2} [/mm] + [mm] -\bruch{3*(1-1)^{\bruch{2}{3}}}{2} [/mm] = 0 + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm]

das Integral konvergiert also!
----------------------------------------------------------------------------------

zu e)

wieder durch Substitution komme ich auf diese Lösung:

[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow0} [\bruch{1}{ln(x)}]_{a}^{\bruch{1}{2}} [/mm] =

[mm] =\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2})} [/mm] - [mm] \limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{ln(a)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) } [/mm] - 0 #da ja der ln(x) gegen [mm] -\infty [/mm] geht, wenn x gegen 0 geht und ln(x) der Nenner im Bruch ist#

[mm] =\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) } [/mm]

also konvergiert auch dieses Integral!

beide korrekt?

Bezug
                
Bezug
Uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Do 05.03.2015
Autor: MathePower

Hallo dodo1924,

> Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
>  
> d) [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm]
>  
> e) [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm]
>  
> Noch 2 Aufgaben, bei denen ich unsicher bin ob sie richtig
> gelöst sind (wollte jetzt keinen eigenen Thread dafür
> öffnen):
>  
> zu d)
>  durch Substitution komme ich hier auf folgendes
> Ergebniss:
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow1} [-\bruch{3*(1-x)^{\bruch{2}{3}}}{2}]_{0}^{b}[/mm]
> =
>  
> [mm]=\limes_{b\rightarrow1} -\bruch{3*(1-b)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm]
> + [mm]-\bruch{3*(1-1)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm] = 0 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>  
> das Integral konvergiert also!
>  
> ----------------------------------------------------------------------------------
>  
> zu e)
>
> wieder durch Substitution komme ich auf diese Lösung:
>  
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow0} [\bruch{1}{ln(x)}]_{a}^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> =
>
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2})}[/mm] - [mm]\limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{ln(a)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm] - 0 #da ja der ln(x) gegen
> [mm]-\infty[/mm] geht, wenn x gegen 0 geht und ln(x) der Nenner im
> Bruch ist#
>  
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm]
>  
> also konvergiert auch dieses Integral!
>  
> beide korrekt?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:01 Fr 06.03.2015
Autor: fred97


> Berechne folgende Integrale, falls sie konvergent sind:
>  
> d) [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm]
>  
> e) [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm]
>  
> Noch 2 Aufgaben, bei denen ich unsicher bin ob sie richtig
> gelöst sind (wollte jetzt keinen eigenen Thread dafür
> öffnen):
>  
> zu d)
>  durch Substitution komme ich hier auf folgendes
> Ergebniss:
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{^3\wurzel{1-x} }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{b\rightarrow1} [-\bruch{3*(1-x)^{\bruch{2}{3}}}{2}]_{0}^{b}[/mm]
> =
>  
> [mm]=\limes_{b\rightarrow1} -\bruch{3*(1-b)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm]
> + [mm]-\bruch{3*(1-1)^{\bruch{2}{3}}}{2}[/mm] = 0 + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>  
> das Integral konvergiert also!
>  
> ----------------------------------------------------------------------------------
>  
> zu e)
>
> wieder durch Substitution komme ich auf diese Lösung:
>  
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{x*(ln(x))^2 }dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow0} [\bruch{1}{ln(x)}]_{a}^{\bruch{1}{2}}[/mm]


Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x*(ln(x))^2 } [/mm] ist nicht [mm] \bruch{1}{ln(x)}, [/mm] sondern [mm] $-\bruch{1}{ln(x)}$ [/mm]  !!




> =
>
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2})}[/mm] - [mm]\limes_{a\rightarrow0} \bruch{1}{ln(a)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm] - 0 #da ja der ln(x) gegen
> [mm]-\infty[/mm] geht, wenn x gegen 0 geht und ln(x) der Nenner im
> Bruch ist#
>  
> [mm]=\bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }[/mm]


Der Wert des Integrals ist $= - [mm] \bruch{1}{ln(\bruch{1}{2}) }= \bruch{1}{ln(2) }$ [/mm]


FRED

>  
> also konvergiert auch dieses Integral!
>  
> beide korrekt?


Bezug
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