matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Ungl. binomischer Lehrsatz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Analysis des R1" - Ungl. binomischer Lehrsatz
Ungl. binomischer Lehrsatz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ungl. binomischer Lehrsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 So 13.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo,

weiß jemand, warum die Ungleichung
[mm] (a+b)^4 \le 8(a^4 [/mm] + [mm] b^4) [/mm] für a,b [mm] \in \IR [/mm]
gültig ist?

Grüße

        
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 So 13.08.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> weiß jemand, warum die Ungleichung
>  [mm](a+b)^4 \le 8(a^4[/mm] + [mm]b^4)[/mm] für a,b [mm]\in \IR[/mm]
>  gültig ist?
>  
> Grüße


Betrachte die Funktion [mm] f(x)=(a+x)^4 [/mm] - [mm] 8(a^4+x^4), [/mm] bei der ich einfach obiges b durch x ersetzt und [mm] 8(a^4+x^4) [/mm] auf die andere Seite der Ungleichung gezogen habe.


Es ist

[mm] f'(x)=4(a+x)^3 - 32x^3 [/mm]sowie
[mm]f''(x)=12(a+x)^2 - 96x^2[/mm].

[mm]f'(x)=0 \gdw 4(a+x)^3 - 32x^3=0 \gdw (a+x)^3 - 8x^3=0 \gdw (a+x)^3 = 8x^3 \gdw a+x=2x \gdw a=x[/mm].

Eingesetzt in f'':
[mm]f''(a)=12(a+a)^2 - 96a^2 = 48a^2-96a^2=-48a^2<0[/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Bei x=a hat die Funktion ein Maximum.

Es ist [mm]f(a)=(a+a)^4 - 8(a^4+a^4)=16a^4-^6a^4=0 [/mm][mm] \Rightarrow [/mm]

Die Funktion ist überall negativ, nur bei x=a ist sie 0 [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm](a+x)^4 - 8(a^4+x^4)\le 0 \Rightarrow (a+x)^4 \le 8(a^4+x^4)[/mm]

Jetzt kannst due wieder b für x einsetzen.


Bezug
                
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 So 13.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo HJKweseleit,

zunächst einmal danke für deine Hilfe. Die Anfängervorlesungen habe ich schon lange hinter mir, daher habe ich deinen Beweis fast vollständig verstanden.
Mir ist nur nicht klar, woher du weißt, dass die Funktion f negativ ist, außer in x = a. Dies ist ja quasi eine der Hauptfakten, die man braucht, um meine Aussage zu zeigen.

Ich habe daher deinen Beweis ein wenig abgeändert und bin wie folgt vorgegangen: Wir wissen, dass f in x = a ein lokales Minimum hat. Wenn man jetzt die Randwerte für x gegen - [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] untersucht, stellt man fest, dass f(x) gegen - [mm] \infty [/mm] divergiert. Daher besitzt f in x = a ein globales Maximum. Somit ist f(x) [mm] \le [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Mo 14.08.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo HJKweseleit,
>  
> zunächst einmal danke für deine Hilfe. Die
> Anfängervorlesungen habe ich schon lange hinter mir, daher
> habe ich deinen Beweis fast vollständig verstanden.
>  Mir ist nur nicht klar, woher du weißt, dass die Funktion
> f negativ ist, außer in x = a.


1. Bei x=a ist f'=0 und f''<0. Das bedeutet, dass die Fkt. hier ein lokales MAXIMUM hat.
2. Die Fkt. ist stetig, f' ebenfalls, und f' hat keine weiteren Nullstellen. Es gibt also keine weiteren lokalen Minima oder Maxima. Daher muss die Fkt. links von x=a steigen und rechts von x=a fallen, dort ist also ein globaler Hochpunkt.
3. f(a)=0, also sind alle Fkt.-Werte links und rechts davon negativ.




Dies ist ja quasi eine der

> Hauptfakten, die man braucht, um meine Aussage zu zeigen.
>  
> Ich habe daher deinen Beweis ein wenig abgeändert und bin
> wie folgt vorgegangen: Wir wissen, dass f in x = a ein
> lokales Minimum MAXIMUM hat. Wenn man jetzt die Randwerte für x
> gegen - [mm]\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] untersucht, stellt man fest, dass
> f(x) gegen - [mm]\infty[/mm] divergiert. Daher besitzt f in x = a
> ein globales Maximum. Somit ist f(x) [mm]\le[/mm] 0 für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>  


Bezug
                                
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:54 Mo 14.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Okay, das leuchtet doch ein. Danke für die Erklärung.

Bezug
        
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Status?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 So 13.08.2017
Autor: HJKweseleit

Hallo Suedkurve,

es ist nicht hilfreich, wenn du deinen mathematischen Background nicht angibst. So kann ich nicht erkennen, ob du mit meiner Lösung mit f' und f'' etwas anfangen kannst. Wenn nicht, melde dich noch mal. Ich kann dir dann eine andere, rein algebraische Lösung anbieten, die aber quasi "von Himmel fällt".

Bezug
                
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mo 14.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Habe ich hinzugefügt.

Bezug
        
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Mo 14.08.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> weiß jemand, warum die Ungleichung
>  [mm](a+b)^4 \le 8(a^4[/mm] + [mm]b^4)[/mm] für a,b [mm]\in \IR[/mm]
>  gültig ist?

Das liegt an Herrn Giovanni Binomi !

Für a,b [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2 \ge [/mm] 0, also

$2ab [mm] \le a^2+b^2$ [/mm] und somit

(1) [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \le a^2+a^2+b^2+b^2=2(a^2+b^2)$. [/mm]

Es folgt:

(2) [mm] (a+b)^4 \le 4(a^2+b^2)^2. [/mm]

Mit [mm] a^2 [/mm] statt a und [mm] b^2 [/mm] statt b liefert (1):

[mm] (a^2+b^2)^2 \le 2(a^4+b^4). [/mm]

Zusammen mit (2) ergibt sich

[mm] (a+b)^4 \le 8(a^4+b^4). [/mm]

>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Ungl. binomischer Lehrsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Mo 14.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo fred97,

danke für deinen Beitrag. Das ist auch ein sehr schöner Beweis, aber da wäre ich niemals drauf gekommen! :)

Grüße
Die_Suedkurve

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]