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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Ungleichung
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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Sa 18.06.2011
Autor: KingStone007

Hallo,
ich soll zeigen, dass für positive reele Zahlen a,b,c stets folgende Ungleichung gilt:

[mm] (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3 [/mm]

Nun, ich hab bereits recht viel mit Mittelungleichungen probiert.
Da Gleichheit offenbar nur für a=b=c=1 gilt, nicht aber für alle anderen a=b=c, vermute ich stark, man muss die einzelnen Faktoren wenigstens einmal als [mm] a^3+1+1 [/mm] betrachten und darauf Mittelungleichungen anwenden.

Nun wird aber bei fast jeder angewendeten Mittelungleichung die Ungleichung falsch. So zum Beispiel wenn man nach AM-Gm [mm] a^3+2>=3a [/mm] setzt, denn dann entsteht genau die AM-GM, allerdings falsch rum. :(

Also ich meinte damit dann.
[mm] (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=27abc>=(a+b+c)^3 [/mm]

Die rechte Seite ist die 'falsche' AM-GM. -.-

Ähnlich läuft es, wenn man andere Mittelungleichungen probiert.
Hat jmd. vielleicht noch andere Ideen?!

Lg, David

        
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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Sa 18.06.2011
Autor: rabilein1

Hast du schon mal [mm](a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)[/mm] bzw. [mm](a+b+c)^3[/mm] ausmultipliziert (also die Klammern aufgelöst)?

Eventuell lässt sich dann klarer sehen (?), weil dann z.B. auf beiden Seiten der Ungleichung ein [mm] a^{3} [/mm] steht, was du dann links und rechts der Ungleichung einfach abziehst.


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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Sa 18.06.2011
Autor: KingStone007

Ähm naja.. Ja das ist bestimmt ne Idee, aber ich suche eigentlich eine elegantere Lösung, die es bei solchen Aufgaben meist gibt. ;D Das Ausmultiplizieren nehm ich dann als letzten Ausweg.^^

Lg, David

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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Sa 18.06.2011
Autor: rammy

Ich denke mir, dass das Ausmultiplizieren hier die eleganteste Methode sein wird.

LG
R

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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Sa 18.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  ich soll zeigen, dass für positive reele Zahlen a,b,c
> stets folgende Ungleichung gilt:
>  
> [mm](a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3[/mm]
>  
> Nun, ich hab bereits recht viel mit Mittelungleichungen
> probiert.
>  Da Gleichheit offenbar nur für a=b=c=1 gilt, nicht aber
> für alle anderen a=b=c, vermute ich stark, man muss die
> einzelnen Faktoren wenigstens einmal als [mm]a^3+1+1[/mm] betrachten
> und darauf Mittelungleichungen anwenden.
>  
> Nun wird aber bei fast jeder angewendeten Mittelungleichung
> die Ungleichung falsch. So zum Beispiel wenn man nach AM-Gm
> [mm]a^3+2>=3a[/mm] setzt, denn dann entsteht genau die AM-GM,
> allerdings falsch rum. :(
>  
> Also ich meinte damit dann.
>  [mm](a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=27abc>=(a+b+c)^3[/mm]
>  
> Die rechte Seite ist die 'falsche' AM-GM. -.-
>  
> Ähnlich läuft es, wenn man andere Mittelungleichungen
> probiert.
>  Hat jmd. vielleicht noch andere Ideen?!
>  
> Lg, David


Hallo David,

angeregt durch den Hinweis, dass Gleichheit nur für
a=b=c=1 bestehe, habe ich die Substitutionen

    $\ x:=a-1$     $\ y:=b-1$     $\ z:=c-1$

vorgenommen und dann den Ausdruck

     [mm](a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)-(a+b+c)^3[/mm]

betrachtet. Es ergibt sich ein ellenlanges Polynom
(60 Summanden) mit durchwegs positiven Koeffizi-
enten, woraus die Behauptung wenigstens für alle
(a,b,c) mit [mm] a\ge1, b\ge1, c\ge1 [/mm] folgt.
Für die Rechnung habe ich allerdings ein CAS benützt.

Laut Mathematica hat der Term  [mm](a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)-(a+b+c)^3[/mm]
im Punkt (a,b,c)=(1,1,1) sogar sein globales Minimum
mit dem Wert Null. Die Ungleichung gilt also nicht nur
für positive, sondern für alle reellen a,b,c !


Letzteres gilt nicht. Es handelt sich nur um ein lokales
Minimum.

Ich denke allerdings schon, dass es eine "elegante"
Lösung geben müsste, insbesondere wenn die Aufgabe
aus einem Wettbewerb stammt. Falls dies aber eine
Wettbewerbsaufgabe ist, solltest du unbedingt noch
beachten (Forenregeln 15):

Poste bitte keine (Mathematik-)Wettbewerbsaufgaben ohne
einen Hinweis, um welchen Wettbewerb es sich handelt.
Das gilt auch für alte Wettbewerbsaufgaben und auch,
wenn du selbst gar nicht die Absicht hast, an dem Wettbewerb
teilzunehmen.
Es ist klar, dass der Sinn eines Wettbewerbs verloren geht,
wenn sich ein Teilnehmer die Lösungen von Dritten beschafft.
Achte daher auch bei deinen Antworten darauf, dass du nicht
unerlaubte Hilfen gibst.


LG    Al-Chw.



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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Sa 18.06.2011
Autor: KingStone007

Hallo,
nun, die Aufgabe ist aus einem Korrespondenzzirkel zur Förderung.(Allerdings eben auf solche Wettbewerbe) Nun, da ich in einer Klausur niemals auf die Idee kommen würde auszumultiplizieren(Wobei! Hier ist das ja noch machbar), wäre ich immer noch an einer eleganten Lösung interessiert.

LG, David

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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Sa 18.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  nun, die Aufgabe ist aus einem Korrespondenzzirkel zur
> Förderung.(Allerdings eben auf solche Wettbewerbe) Nun, da
> ich in einer Klausur niemals auf die Idee kommen würde
> auszumultiplizieren(Wobei! Hier ist das ja noch machbar),
> wäre ich immer noch an einer eleganten Lösung
> interessiert.
>  
> LG, David


Hi David,

das Ausmultiplizieren allein bringt auch wirklich kaum
viel für die Lösung und ist wirklich mühsam - ohne CAS
wäre mir das zu langweilig gewesen.
Die Substitutionen x:=a-1 etc. waren da schon wenigstens
ein Ansatz zu einer möglicherweise auch "eleganten"
Lösung.

LG


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Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Sa 18.06.2011
Autor: rabilein1


>  Die Ungleichung gilt also nicht nur für positive, sondern für alle reellen a,b,c !

Kann das denn sein?
Was ist denn, wenn a den Wert -1.256 annimmt? Dann wäre doch die erste Klammer NULL und somit das Produkt ebenfalls NULL.

Dann könnte man b und c doch so wählen, dass rechts der Ungleichung ein negativer Wert rauskommt. Oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Sa 18.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


>
> >  Die Ungleichung gilt also nicht nur für positive, sondern

> für alle reellen a,b,c !
>  
> Kann das denn sein?
> Was ist denn, wenn a den Wert -1.256 annimmt? Dann wäre
> doch die erste Klammer NULL und somit das Produkt ebenfalls
> NULL.
>  
> Dann könnte man b und c doch so wählen, dass rechts der
> Ungleichung ein negativer Wert rauskommt.

(du meinst ein positiver Wert - und dann ist die Ungleichung
verletzt)

Ja, du hast Recht.

Ich hatte übersehen, dass es sich bei (1,1,1) nur um
eine Stelle mit lokalem Minimum handelt. Leider war
nicht klar angegeben, dass es kein globales Minimum
gibt.

LG   Al


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Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Di 21.06.2011
Autor: rammy

Ich habe heute vor der Bandprobe etwas herum"probiert" (haha) und vielleicht hilft folgende Überlegung etwas weiter:


Wenn wir uns die gegebene Ungleichung ansehen und zunächst die rechte Seite betrachten, steht dann dort:

(Auflösung des Trinoms):
[mm] a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc [/mm] --> Hier haben wir also räumlich gesehen:
3 Würfel, 18 quadratische Säulen und 6 Quader

auf der linken Seite erhalten wir nach Berechnungen:
12 Würfel (da [mm] 4a^{3}+4b^{3}+4c^{3}) [/mm] ... etc.

Vllt. bringt diese Überlegung jemanden Etwas...

Mir raucht der Kopf würde mich über Lösungsvorschläge freuen...

LG

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung: Dimensionskonflikt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:42 Mi 22.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich habe heute vor der Bandprobe etwas herum"probiert"
> (haha) und vielleicht hilft folgende Überlegung etwas
> weiter:
>  
>
> Wenn wir uns die gegebene Ungleichung ansehen und zunächst
> die rechte Seite betrachten, steht dann dort:
>  
> (Auflösung des Trinoms):
>  
> [mm]a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc[/mm]
> --> Hier haben wir also räumlich gesehen:
>  3 Würfel, 18 quadratische Säulen und 6 Quader
>  
> auf der linken Seite erhalten wir nach Berechnungen:
>  12 Würfel (da [mm]4a^{3}+4b^{3}+4c^{3})[/mm] ... etc.
>  
> Vllt. bringt diese Überlegung jemanden Etwas...
>  
> Mir raucht der Kopf würde mich über Lösungsvorschläge
> freuen...
>  
> LG


Guten Tag rammy,

ich mag geometrische Ideen. Tatsächlich wurde auch
historisch gesehen die Algebra wesentlich von geome-
trischen Fragestellungen befruchtet und gefördert.
Das Lösen von quadratischen und kubischen Gleichungen
wurde zuerst als geometrisches Rätsel betrachtet.
Leider fügt sich die vorliegende Aufgabe nicht so recht
in diese Tradition, denn die Ungleichung

     $ [mm] (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3 [/mm] $

ist dimensionsmäßig "nicht in Ordnung". Die rechte
Seite kann man zwar als Volumenberechnung eines
Würfels der Seitenlänge (a+b+c) auffassen und diesen
dann in die Klötzchen zerlegen, die du aufzählst.
Die linke Seite ist - entsprechend betrachtet - aber
ein "Monstrum", das sich in einem neundimensio-
nalen Raum befindet (wenn man die Summanden 2
in jeder Klammer als [mm] 2\,e^3 [/mm] betrachtet, wobei e eine
Strecke der Länge 1 ist). Zunächst kann man also
die linke und die rechte Seite geometrisch gesehen
gar nicht vergleichen, wenn man nicht noch weitere
eher abstrakte "Tricks" vornimmt ...

LG   Al-Chw


Bezug
        
Bezug
Ungleichung: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 So 19.06.2011
Autor: rabilein1

  
> [mm](a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3[/mm]

Für a=b=c=1 kommt das Gleichheitszeichen infrage.

Man könnte ja mal untersuchen, was passiert, wenn man b=c=1 und a=x+1 setzt. Wenn die Aussage stimmt, dann müsste also die linke Seite der Gleichung für x>-1 stärker wachsen als die rechte.  
  
[mm]((x+1)^3+2)*3*3>=(x+3)^3[/mm]

Das könnte man ausmultiplizieren, und dann müsste zumindest für diesen Teilbereich ersichtlich sein, dass die Aussage stimmt.

Eventuell lässt sich mit solchen Überlegungen dann auch der Rest "beweisen".

Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:30 So 19.06.2011
Autor: KingStone007

Hmm..
Wie wäre es, wenn wir das einfach analytisch lösen(mit dem Polynom [mm] (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)-(a+b+c)^3 [/mm] )? Ist bestimmt eleganter als Ausmultiplizieren. :D Was müsste ich denn dafür machen?! Kann ich einfach, da die Ungleichung ja symmetrisch in a,b,c ist, nur die Ableitungen und so nach einer Variablen, z.B. a, betrachten. Aber was müsste ich denn genau machen?! :O
Ach und, wegen dem Ableiten, ist es vllt eine Idee, auf beiden Seiten die Logarithmen zu bilden, damit man sich die ständige Produktregel spart. :D

Lg, David

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Bezug
Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Di 21.06.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ungleichung: Mittelungleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mo 20.06.2011
Autor: reverend

Hallo David,

ich habe schon gestern allerlei an dieser Aufgabe herumgebrütet, sie hat es wirklich in sich - will heißen: ich habe immer noch keine Idee zu einer Lösung.

Dafür kann ich Dir eine "funktionierende" Mittelungleichung anbieten, nur vereinfacht sie leider den Lösungsweg m.E. überhaupt nicht, im Gegenteil.

[mm] (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)\ge (a^3-a^2+2a+1)(b^3-b^2+2b+1)(c^3-c^2+2c+1)\ge (a+b+c)^3 [/mm]

Nun ist die linke Ungleichung zwar leicht zu zeigen, aber die rechte scheint eher noch schwieriger zu sein als die ursprüngliche.

Ich denke auch, es muss eine elegante Lösung geben, aber gefunden habe ich sie nicht. Vielleicht nur noch nicht...

Viel Erfolg jedenfalls!
reverend


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