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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Ungleichung - Summe von ZVs
Ungleichung - Summe von ZVs < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung - Summe von ZVs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Fr 05.05.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

in einem Beweis wird die folgende Ungleichung benutzt:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \mathbb{E} \left | \zeta_i \left ( \mathbb{E} \zeta_i^2 - \zeta_i^2 \right ) \right [/mm] | [mm] \le [/mm] 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} \mathbb{E} \left | \zeta_i \right |^3,$ [/mm]
wobei [mm] $\zeta_i$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit [mm] $\summe_{i=1}^{n} \mathbb{E} \zeta_i^2 [/mm] = 1$ und die Erwartungswerte der [mm] $\zeta_i$ [/mm] alle 0 sind. Dies braucht man aber vermutlich nicht, um die Ungleichung zu zeigen.
Meine Vermutung ist, dass man
[mm] $\mathbb{E} \left | \zeta_i \mathbb{E} \zeta_i^2 \right [/mm] | [mm] \le \mathbb{E} \left | \zeta_i^3 \right [/mm] |$
zeigen kann. Die Frage ist nur, ob das wirklich so ist, und wenn ja, wie man es zeigt?

Grüße

        
Bezug
Ungleichung - Summe von ZVs: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Sa 06.05.2017
Autor: ChopSuey

Editiert - meine kurzen Überlegungen waren nicht wirklich brauchbar.

LG,
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Ungleichung - Summe von ZVs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Sa 06.05.2017
Autor: tobit09

Hallo Die_Suedkurve!


>  Meine Vermutung ist, dass man
>  [mm]\mathbb{E} \left | \zeta_i \mathbb{E} \zeta_i^2 \right | \le \mathbb{E} \left | \zeta_i^3 \right |[/mm]
>  
> zeigen kann. Die Frage ist nur, ob das wirklich so ist, und
> wenn ja, wie man es zeigt?

Das kann man in der Tat zeigen.

Ich verwende zur Formulierung eines Beweises die p-Norm (für [mm] $1\le p<\infty$) [/mm] definiert durch

       [mm] $||X||_p:=(E(|X|^p))^{\frac1p}\in[0,\infty]$ [/mm]

für Zufallsgrößen X.

Ist dir bereits bekannt, dass [mm] $||X||_p\le||X||_q$ [/mm] für [mm] $1\le p\le q<\infty$ [/mm] gilt?

(Dies kann man u.a. mithilfe der Jensenschen Ungleichung zeigen.)

(Wichtig ist, dass diese Ungleichung in einem allgemeineren Setting i.A. nicht mehr gilt: Auch für beliebige Maße anstelle eines Wahrscheinlichkeitsmaßes und messbare reelle Funktionen anstelle von Zufallsgrößen kann man die p-Norm bilden. Für diese Normen gilt die entsprechende Ungleichung jedoch i.A. nicht.)

Damit erhalten wir:

[mm] $\mathbb{E} \left | \zeta_i \mathbb{E} \zeta_i^2 \right |=E(|\zeta_i|*E\zeta_i^2)=(E|\zeta_i|)*E(\zeta_i^2)=||\zeta_i||_1*||\zeta_i||_2^2=||\zeta_i||_1*||\zeta_i||_2*||\zeta_i||_2\le ||\zeta_i||_3*||\zeta_i||_3*||\zeta_i||_3=||\zeta_i||_3^3=E(|\zeta_i|^3)=\mathbb{E} \left | \zeta_i^3 \right [/mm] |$.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Ungleichung - Summe von ZVs: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Sa 06.05.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo Tobi,

ich danke dir erneut für deine Hilfe. Deine Erläuterung habe ich verstanden. Die Lp-Norm für allgemeine Maßräume ist mir bekannt. Für diese allgemeinen Maßräume dämmerte mir, dass [mm] $L^q \subset L^p, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le [/mm] q$ gültig ist. Dies ist in meinem Fall aber genau die andere Richtung der Ungleichung, wenn ich mich nicht irre. Dass nun $ [mm] ||X||_p\le||X||_q [/mm] $ für $ [mm] 1\le p\le q<\infty [/mm] $ in Wahrscheinlichkeitsräumen Gültigkeit besitzt, war mir nicht bekannt. Das werde ich mir aber auf jeden Fall notieren, weil ich mir sicher bin, dass ich das noch öfter brauchen werde.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung - Summe von ZVs: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Sa 06.05.2017
Autor: tobit09


> Die Lp-Norm für allgemeine Maßräume
> ist mir bekannt. Für diese allgemeinen Maßräume
> dämmerte mir, dass [mm]L^q \subset L^p, 1 \le p \le q[/mm] gültig
> ist.

Nein, für beliebige Maßräume gilt dies i.A. nicht.
(Wenn du ein Gegenbeispiel sehen möchtest, gib mir bitte Bescheid.)
Aber für endliche Maßräume trifft diese Inklusion zu.


> Dies ist in meinem Fall aber genau die andere Richtung
> der Ungleichung, wenn ich mich nicht irre.

Ich würde sagen, da irrst du in der Tat:
Im Falle eines Wahrscheinlichkeitsraumes kannst du die Inklusion [mm] $L^q\subseteq L^p$ [/mm] für [mm] $1\le p\le q<\infty$ [/mm] (die ja besagt, dass q-fach integrierbare Zufallsgrößen stets auch p-fach integrierbar sind)  aus "meiner" Ungleichung [mm] $||X||_p\le ||X||_q$ [/mm] ablesen: Ist $X$ q-fach integrierbar, so folgt [mm] $||X||_p\le||X||_q<\infty$ [/mm] und damit die p-fache Integrierbarkeit von $X$.


In allgemeinen Maßräumen kann [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ [/mm] kann man allgemeiner die Ungleichung

      [mm] $||f||_p\le||f||_q*\left(\mu(\Omega)^{\frac{q-p}{pq}}\right)$ [/mm]

für alle messbaren numerischen Funktionen $f$ auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$ [/mm] und alle [mm] $1\le p\le q<\infty$ [/mm] mithilfe der Hölder-Ungleichung herleiten.
(Sie liefert natürlich nur für den Fall eines endlichen Maßes [mm] $\mu$ [/mm] eine brauchbare Abschätzung.)

Aus dieser verallgemeinerten Ungleichung folgt wiederum [mm] $L^q\subseteq L^p$ [/mm] für ENDLICHE Maßräume.


Übrigens: Respekt, du scheinst ja sehr anspruchsvoll knapp geschriebene Beweise studieren zu müssen!

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung - Summe von ZVs: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 So 07.05.2017
Autor: Die_Suedkurve


>  Nein, für beliebige Maßräume gilt dies i.A. nicht.
>  (Wenn du ein Gegenbeispiel sehen möchtest, gib mir bitte
> Bescheid.)
>  Aber für endliche Maßräume trifft diese Inklusion zu.

Ja, du hast recht. Ich habe die Aussage von Wikipedia nicht vollumfänglich übernommen (https://de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum#Einbettungen).

>  Ich würde sagen, da irrst du in der Tat:
>  Im Falle eines Wahrscheinlichkeitsraumes kannst du die
> Inklusion [mm]L^q\subseteq L^p[/mm] für [mm]1\le p\le q<\infty[/mm] (die ja
> besagt, dass q-fach integrierbare Zufallsgrößen stets
> auch p-fach integrierbar sind)  aus "meiner" Ungleichung
> [mm]||X||_p\le ||X||_q[/mm] ablesen: Ist [mm]X[/mm] q-fach integrierbar, so
> folgt [mm]||X||_p\le||X||_q<\infty[/mm] und damit die p-fache
> Integrierbarkeit von [mm]X[/mm].

Auch hier hast du recht. Dann war mir die Ungleichung doch bekannt.

> In allgemeinen Maßräumen kann [mm](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/mm]
> kann man allgemeiner die Ungleichung
>  
> [mm]||f||_p\le||f||_q*\left(\mu(\Omega)^{\frac{q-p}{pq}}\right)[/mm]

Diese Ungleichung war mir bis dato nicht bekannt. Werde ich mir aber auch mal notieren.

>  
> für alle messbaren numerischen Funktionen [mm]f[/mm] auf
> [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm] und alle [mm]1\le p\le q<\infty[/mm] mithilfe
> der Hölder-Ungleichung herleiten.
>  (Sie liefert natürlich nur für den Fall eines endlichen
> Maßes [mm]\mu[/mm] eine brauchbare Abschätzung.)
>  
> Aus dieser verallgemeinerten Ungleichung folgt wiederum
> [mm]L^q\subseteq L^p[/mm] für ENDLICHE Maßräume.

> Übrigens: Respekt, du scheinst ja sehr anspruchsvoll knapp
> geschriebene Beweise studieren zu müssen!

Ich bin dabei mich in die Steinsche Methode einzuarbeiten und schaue mir gerade ,,Stein's method for normal approximation" an. Als Einstieg gucke ich mir ein paar Beweise an und dabei bin ich über diese Ungleichung gestolpert und auch über die andere Ungleichung aus dem anderen Thread.
Ich denke, es werden noch einige Ungleichungen auf mich zukommen, die für mich nicht verständlich sind. :D

Bezug
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