matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteUngleichung Skalarprodukt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Ungleichung Skalarprodukt
Ungleichung Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ungleichung Skalarprodukt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:09 Sa 15.07.2006
Autor: xsara

Aufgabe
für f,g : [a,b] [mm] \to [/mm] R integrierbar wird <f,b>:=  [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx} [/mm] definiert und dementsprechend  
[mm] \parallel{f}\parallel [/mm] :=  [mm] \wurzel{}. [/mm]
Beweisen Sie die Ungleichung |<f,g>| [mm] \le \parallel{f}\parallel*\parallel{g}\parallel. [/mm]

Hallo,

ich muss die Lösung der Aufgabe Mitte nächster Woche abgeben und brauche zur Beantwortung unbedingt Hilfe.

Eigentlich muss ich doch nur das Skalarprodukt und die Norm in die Ungleichung einsetzen und nachrechnen, dass die Ungleichung so gegeben ist.
Woher nehme ich dann die Norm von g?

Vielen Dank für eure Hilfe!

xsara



        
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Sa 15.07.2006
Autor: Karthagoras

Hallo xsara,
kann es sein, dass da du deine Aufzeichnungen ein bisschen hastig angefertigt hast?
Nach meinen Erkenntnissen sollte es heißen:

> für [mm] f,g: \left[a,b\right]\to[/mm] R integrierbar wird

[mm]\left\langle f,\red{g} \right\rangle := \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}[/mm] definiert und

> dementsprechend

[mm]\parallel{f}\parallel:= \wurzel{\left\langle f,\red{f} \right\rangle}.[/mm]

> Beweisen Sie die Ungleichung [mm]|\left\langle f,g \right\rangle| \le \parallel{f}\parallel*\parallel{g}\parallel.[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich muss die Lösung der Aufgabe Mitte nächster Woche
> abgeben und brauche zur Beantwortung unbedingt Hilfe.
>  
> Eigentlich muss ich doch nur das Skalarprodukt und die Norm
> in die Ungleichung einsetzen und nachrechnen, dass die
> Ungleichung so gegeben ist.
>  Woher nehme ich dann die Norm von g?

[mm]\fbox{\parallel{g}\parallel =\wurzel{\left\langle \blue{g,g} \right\rangle}= \wurzel{\integral_{a}^{b}{g^2(x) dx}}}[/mm]

Gruß Karthagoras


Bezug
        
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:21 So 16.07.2006
Autor: xsara

Hallo Karthagoras!

Gerne würde ich schreiben, dass ich mich geirrt habe. Das ist leider nicht der Fall.
Ich werde morgen den Dozenten mal fragen, ob er die Aufgabenstellung so meint, wie du sie aufgeschrieben hast.

Vielen Dank für deine Mühe!

Liebe Grüße

xsara

Bezug
                
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 So 16.07.2006
Autor: M.Rex

Hallo xsara

Ich glaube, den Dozenten zu fragen, ist nicht nötig. Eine Norm ist immer auch als Skalarprodukt definiert. es gibt also immer ein Skalarprodukt, so dass gilt

|| f || = [mm] \wurzel{} [/mm]

Ein kleiner Tipp noch, schau dir mal die Definition der Länge eines Vektors,wie ihr sie in der Oberstufe berechnet habt an, und vergleiche sie mit dem damals bekannten Skalarprodukt.

Gruss

Marius

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 So 16.07.2006
Autor: felixf

Hallo Marius,

> Ich glaube, den Dozenten zu fragen, ist nicht nötig. Eine
> Norm ist immer auch als Skalarprodukt definiert. es gibt
> also immer ein Skalarprodukt, so dass gilt
>  
> || f || = [mm]\wurzel{}[/mm]

das stimmt so nicht! Es gibt Normen, die nicht von einem Skalarprodukt her kommen! (Etwa die Supremumsnorm.)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 So 16.07.2006
Autor: felixf

Hallo xsara!

> Gerne würde ich schreiben, dass ich mich geirrt habe. Das
> ist leider nicht der Fall.
> Ich werde morgen den Dozenten mal fragen, ob er die
> Aufgabenstellung so meint, wie du sie aufgeschrieben hast.

Das $b$ bei [mm] $\langle [/mm] f, b [mm] \rangle$ [/mm] in der Aufgabenstellung ist definitiv ein Tippfehler, es soll $g$ heissen. Und bei [mm] $\| [/mm] f [mm] \|$ [/mm] soll es definitiv [mm] $\sqrt{\langle f, f \rangle}$ [/mm] heissen.

Die Ungleichung, die du zeigen sollst, hat uebrigens einen Namen: Es ist die Ungleichung von Cauchy-Schwarz.

Fuer diese gibt es uebrigens einen ziemlich schoenen Beweis, der nur benoetigt, das man ein (euklidisches) Skalarprodukt vorliegen hat (so wie in deinem Fall). Dafuer (falls $f, g$ linear unabhaengig sind; der andere Fall ist sehr einfach) rechnest du [mm] $\langle \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g, [mm] \lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] fuer passende Konstanten [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] aus, benutzt dass dies [mm] $\ge [/mm] 0$ ist (positive Definitheit) und teilst durch einen passenden Faktor [mm] ($\neq [/mm] 0$), und schon hast du die gesuchte Ungleichung dort stehen. Wenn du mehr Details brauchst, sag Bescheid (oder schau in ein gutes LinA-Buch :) )...

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 So 16.07.2006
Autor: felixf

Hallo zusammen!

Mal einen allgemeinen Kommentar. Was genau meinst du mit `integrierbaren Funktionen'? (eigentlich/uneigentlich) Riemann-integrierbar? Wenn ja, kann es sein dass das gar kein Skalarprodukt ist (siehe die Diskussion hier, insb. den Kommentar von Eckhard Maaß (SEcki))! In diesem Fall muss man bei dem Beweis, den ich beschrieben hab, noch etwas mehr aufpassen (ich denke aber er sollte trotzdem gehen).

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Ungleichung Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Mo 17.07.2006
Autor: didi_160

Hallo,

die Aufgabe hätte einfacher so lauten können:

"Beweise die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |f*g| [mm] \le||f||*||g||". [/mm]

Was sagen die anderen dazu? Habe ich etwas wichtiges übersehen?

Viele Grüße
didi_160  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]