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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Ungleichung beweisen
Ungleichung beweisen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Fr 05.05.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

ich hänge beim Verständnis eines Beweises fest und würde gerne dazu die untenstehende Ungleichung verstehen.
Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen. :)

Seien [mm] $\zeta_i$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und [mm] $\sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}(\zeta_i^2) [/mm] = 1$.
Definiere $W = [mm] \summe_{i=1}^{n} \zeta_i$. [/mm]
Nun soll angeblich gelten:

[mm] $\frac{1}{2} \mathbb{E} \left | 1 - \mathbb{E} \left ( \summe_{i=1}^{n} \zeta_i^2 \middle | W \right ) \right [/mm] | [mm] \le \frac{1}{2} \mathbb{E} \left | \summe_{i=1}^{n} \left ( \zeta_i^2 - \mathbb{E} \zeta_i^2 \right ) \right [/mm] |$.

Kann mir bitte jemand sagen, wie man darauf kommt?

Grüße

        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Fr 05.05.2017
Autor: tobit09

Hallo Die_Suedkurve!


> Seien [mm]\zeta_i[/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit
> Erwartungswert 0

(Deine Ungleichung gilt sogar unabhängig von der Bedingung [mm] $E\zeta_i=0$ [/mm] und der stochastischen Unabhängigkeit der [mm] $\zeta_i$.) [/mm]


> und [mm]\sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}(\zeta_i^2) = 1[/mm].
>  
> Definiere [mm]W = \summe_{i=1}^{n} \zeta_i[/mm].

(Auch die Definition von W spielt keine Rolle für die Ungleichung.)


>  Nun soll angeblich
> gelten:
>  
> [mm]\frac{1}{2} \mathbb{E} \left | 1 - \mathbb{E} \left ( \summe_{i=1}^{n} \zeta_i^2 \middle | W \right ) \right | \le \frac{1}{2} \mathbb{E} \left | \summe_{i=1}^{n} \left ( \zeta_i^2 - \mathbb{E} \zeta_i^2 \right ) \right |[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

.

>  
> Kann mir bitte jemand sagen, wie man darauf kommt?

Auf einen Blick sichtbar ist die Gültigkeit dieser Ungleichung für mich nicht.
Aber sie lässt sich folgendermaßen herleiten:

Zunächst einmal sind die Faktoren $\frac12$ natürlich für die Gültigkeit der Ungleichung völlig egal; es genügt die Ungleichung

      $\mathbb{E} \left | 1 - \mathbb{E} \left ( \summe_{i=1}^{n} \zeta_i^2 \middle | W \right ) \right | \le \mathbb{E} \left | \summe_{i=1}^{n} \left ( \zeta_i^2 - \mathbb{E} \zeta_i^2 \right ) \right |$

zu zeigen.

Ich forme zunächst die linke Seite um, wobei ich $\sum_{i=1}^n\zeta_i^2$ mit $Y$ abkürze:

     $\mathbb{E} \left | 1 - \mathbb{E} \left ( \summe_{i=1}^{n} \zeta_i^2 \middle | W \right ) \right |=\mathbb{E} \left | \mathbb{E} \left( Y \middle | W \right ) -1\right |=E\left|E(Y|W)\right-E(1|W)|=E\left|E(Y-1|W)\right|$.

Nun forme ich die rechte Seite der zu zeigenden Ungleichung um:

      $\mathbb{E} \left | \summe_{i=1}^{n} \left ( \zeta_i^2 - \mathbb{E} \zeta_i^2 \right ) \right |=E|Y-\sum_{i=1}^nE\zeta_i^2|=E|Y-1|$.

Nach diesen Überlegungen genügt es also,

(*)      $E\left|E(X|W)\right|\le E|X|$

für die Zufallsgröße $X:=Y-1$ zu zeigen.

Tatsächlich gilt (*) für jede integrierbare oder nichtnegative Zufallsgröße X:

Gemäß Jensenscher Ungleichung für bedingte Erwartungswerte angewendet auf die (konvexe) Betragsabbildung erhalten wir $|E(X|W)|\le E(|X|\;|\;W)$ und damit wie gewünscht

      $E|E(X|W)|\le E E(|X|\;|\;W)=E|X|$.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Fr 05.05.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo Tobias,

ich danke dir für deine Hilfe. :)
Es war wie von mir vermutet nicht so schwierig, aber ich bin einfach nicht drauf gekommen. Ich habe nun aber auch gesehen, dass es einfach ein Spezialfall eines allgmeinen Falles ist.

Grüße

Bezug
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