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Ungleichung für Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Di 12.11.2013
Autor: hula

Guten Tag!

Sei $p>2$, und ich betrachte [mm] $f(x)=x^p:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$. [/mm] Nun sei [mm] $1\le K\in\mathbb{N}$ [/mm] und ich definiere folgende Funktion: [mm] $g(x)=f(x)\wedge [/mm] K [mm] :=\min\{f(x),K\}$. [/mm] Stimmt folgendes:

[mm] $|g(x)-g(y)|\le pK^{p-1}|x-y|$ [/mm]

Wir machen eine Fallunterscheidung. 1. Fall [mm] $g(x)=x^p,g(y)=y^p$. [/mm] Mein Beweis benützt den Mittelwertsatz. Klar ist, dass $g$ stetig und in diesem Falle sogar differenzierbar. Also gilt nach dem Mittelwertsatz

[mm] $\frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|}=g'(z)\le [/mm] p [mm] K^{p-1}\iff |g(x)-g(y)|\le pK^{p-1}|x-y| [/mm] $

Wenn $g(x)=g(y)=K$, ist die Ungleichung trivial. Einziger Fall der übrig bleibt ist, o.B.d.A. [mm] $g(x)=x^p$ [/mm] und $g(y)=K$. Gilt in diesem Falle auch

[mm] $|g(x)-K|\le pK^{p-1}|x-y|$? [/mm]

Gruss

hula

        
Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Di 12.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Guten Tag!

>

> Sei [mm]p>2[/mm], und ich betrachte [mm]f(x)=x^p:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+[/mm].
> Nun sei [mm]1\le M\in\mathbb{N}[/mm] und ich definiere folgende
> Funktion: [mm]g(x)=f(x)\wedge M :=\min\{f(x),M\}[/mm].

Hallo,

???

Meinst Du

[mm] g(x):=\min\{f(x),M\}? [/mm]


Gibt es eine Originalaufgabe?

Für den MWS braucht man auch Differenzierbarkeit.


LG Angela



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Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Di 12.11.2013
Autor: hula

Hallo Angela

Genau, [mm] $g(x)=\min\{f(x),K\}$ [/mm] und [mm] $f(x)=x^p$, [/mm] also auch differenzierbar. Damit habe ich ja alle voraussetzungen des MWS. Stimmt mein Beweis?

Gruss

hula

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Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Di 12.11.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo Angela
>  
> Genau, [mm]g(x)=\min\{f(x),M\}[/mm] und [mm]f(x)=x^p[/mm], also auch

differenzierbar. Damit habe ich ja alle voraussetzungen des MWS.

Nein hast du nicht!
Du wendest den MWS ja auf g an und das ist im Allgemeinen eben nicht differenzierbar.

Gruß,
Gono.

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Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Di 12.11.2013
Autor: hula

Ah stimmt.

ich habe meine Frage entsprechende bearbeitet. Danke für den Hinweis

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Di 12.11.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mach am besten eine Fallunterscheidung.

Mach dir klar, dass es ein [mm] $x_0$ [/mm] gibt mit [mm] $f(x_0) [/mm] = M$ und dann Fallunterscheidung:

1.) [mm] $x\le x_0, [/mm] y [mm] \le x_0$ [/mm]
2.) $x < [mm] x_0 [/mm] < y$
3.) $x [mm] \ge x_0, [/mm] y [mm] \ge x_0$ [/mm]

Zwei Fälle davon sind klar, der dritte bedarf einer (einfachen) Abschätzung

MFG,
Gono.

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Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 Di 12.11.2013
Autor: hula

Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass

[mm] $|x^p-K|\le [/mm] p [mm] K^{p-1}|x-y|$ [/mm]

wenn [mm] $|x-y|\le [/mm] 1$ ist?

Bezug
        
Bezug
Ungleichung für Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Di 12.11.2013
Autor: angela.h.b.

Einziger
> Fall der übrig bleibt ist, o.B.d.A. [mm]g(x)=x^p[/mm] und [mm]g(y)=M[/mm].
> Gilt in diesem Falle auch

>

> [mm]|g(x)-M|\le pM^{p-1}|x-y|[/mm]?

Hallo,

ja.

Du mußt es aber nachvollziehbar begründen.

LG Angela
>

> Gruss

>

> hula


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Ungleichung für Funktionen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:13 Di 12.11.2013
Autor: hula

Hallo Angela

Kannst du mir einen Tipp geben für den Fall, dass $|x-y|<1$. Wenn [mm] $|x-y|\ge [/mm] 1$, dann ist alles klar. Danke!



Bezug
                        
Bezug
Ungleichung für Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Di 12.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela

>

> Kannst du mir einen Tipp geben für den Fall, dass [mm]|x-y|<1[/mm].
> Wenn [mm]|x-y|\ge 1[/mm], dann ist alles klar.

Hallo,

zeig doch mal, wie Du diesen Fall gelöst hast.

Mein Tip müßte sich ja im Idealfall irgendwie auf Deine Gedankenwelt beziehen.

Ich vermag im Moment den Unterschied zischen beiden Fällen gar nicht erkennen.

LG Angela





> Danke!

>
>

Bezug
                                
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Ungleichung für Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Di 12.11.2013
Autor: hula

Hallo Angela

Danke für deine Geduld.

Also, was ich überlegt habe,

[mm] $|x^p-K|\le [/mm]  K$, dies gilt trivialerweise. Da [mm] $K\ge 1,|x-y|\ge [/mm] 1$ und [mm] $p\ge [/mm] 2$ kann ich also weiter abschätzen [mm] $K\le pK^{p-1}|x-y|$. [/mm]

Gruss

hula

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Bezug
Ungleichung für Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:53 Mi 13.11.2013
Autor: angela.h.b.


>

> Also, was ich überlegt habe,

>

> [mm]|x^p-K|\le K[/mm], dies gilt trivialerweise. Da [mm]K\ge 1,|x-y|\ge 1[/mm]
> und [mm]p\ge 2[/mm] kann ich also weiter abschätzen [mm]K\le pK^{p-1}|x-y|[/mm].


Hallo,

diese Abschätzung ist richtig.

Mich würde aber mal - wie bereits erwähnt - die eigentliche Aufgabe interessieren, also den Zusammenhang, in welchem Du die Abschätzung brauchst. Ich finde die Abschätzung nämlich sehr grob.


Du möchtest als nächstes jetzt also [mm] x
[mm] |g(x)-g(y)|=|x^p-K|=|x^p-(K^{1/p})^p|=|f(x)-f(K^{1/p})| [/mm]

An dieser Stelle kann nun der MWS kommen, denn f ist diffbar.

Er sagt uns: es gibt ein z zwischen x [mm] und K^{1/p} [/mm] mit

[mm] |f(x)-f(K^{1/p})|=f'(z)*|x-y| [/mm]

Da f monoton wachsend ist, gilt

[mm] ...\le f'(K^{1/p})|x-y|=p*(K^{1/p})^{p-1}|x-y|
Du siehst, daß diese Abschätzung gilt, egal ob |x-y| größer oder kleiner als 1 ist, und Du siehst auch, warum ich Deine Abschätzung grob finde.

LG Angela

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