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Unstetigkeit zeigen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Mi 01.10.2014
Autor: Cccya

Aufgabe
Sei D:= [mm] \IQ \cap [/mm] (0,1]. Für eine Abzählung [mm] D:=(d_{n} [/mm] | n [mm] \in \IN) [/mm] betrachte F : R → [0, 1] mit:

F(x) := [mm] \summe_{n: d_{n}\le x}^{} 2^{-n} [/mm]

a) Zeigen Sie, dass F an jedem Punkt x ∈ D unstetig ist


a) Sei N:=(i [mm] \in \IN [/mm] | [mm] x=d_{i}) [/mm]

Rechtsstetig ist F ja, also untersuche ich nur Linksstetigkeit, sei also

[mm] x_{k} \to x^{-}. [/mm] Dann ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} F(x_{k})= [/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n: d_{n}\le x}^{} 2^{-n}= [/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n \ge 1}^{\infty} 2^{-n} 1_{[d_{n}, \infty)} (x_{k}) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\summe_{n \ge 1}^{N} 2^{-n}0 [/mm] + [mm] \summe_{N+1}^{\infty} 2^{-n}1) [/mm] =  [mm] \summe_{N+1}^{\infty} 2^{-n}1 \not= \summe_{n \ge 1}^{N-1} 2^{-n}0 [/mm] +  [mm] \summe_{N}^{\infty} 2^{-n}1 [/mm] = [mm] \summe_{N}^{\infty} 2^{-n}1 [/mm] = F(x)
Kann man das so machen?

Danke,
Elias

        
Bezug
Unstetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei D:= [mm]\IQ \cap[/mm] (0,1]. Für eine Abzählung [mm]D:=(d_{n}[/mm] | n
> [mm]\in \IN)[/mm] betrachte F : R → [0, 1] mit:
>  
> F(x) := [mm]\summe_{n: d_{n}\le x}^{} 2^{-n}[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie, dass F an jedem Punkt x ∈ D unstetig ist
>  a) Sei N:=(i [mm]\in \IN[/mm] | [mm]x=d_{i})[/mm]
>  
> Rechtsstetig ist F ja, also untersuche ich nur
> Linksstetigkeit, sei also
>  
> [mm]x_{k} \to x^{-}.[/mm] Dann ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} F(x_{k})=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n: d_{n}\le x}^{} 2^{-n}=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n \ge 1}^{\infty} 2^{-n} 1_{[d_{n}, \infty)} (x_{k})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n \ge 1}^{N} 2^{-n}0[/mm]
> +  [mm]\summe_{N+1}^{\infty} 2^{-n}1[/mm] =  [mm]\summe_{N+1}^{\infty} 2^{-n}1 \not= \summe_{n \ge 1}^{N-1} 2^{-n}0[/mm]
> +  [mm]\summe_{N}^{\infty} 2^{-n}1[/mm] = [mm]\summe_{N}^{\infty} 2^{-n}1[/mm]
> = F(x)
>  Kann man das so machen?

also mit Deinen Notationen komme ich nicht so klar. Wie wird das [mm] $N\,$ [/mm] definiert?
Und aus [mm] $\lim_{k \to \infty}$ [/mm] wird dann [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] und das [mm] $n\,$ [/mm] steht dann
auch noch in dem Summenzeichen etc. pp.

Dann solltest Du beachten, dass [mm] $F\,$ [/mm] ja nicht nur auf [mm] $D\,$ [/mm] definiert ist. Ich
würde hier auch sagen, dass die (Wohl-)Definiertheit von [mm] $F\,$ [/mm] auch nachzuweisen
ist, auch, wenn der Aufgabensteller das nicht explizit fordert.

Und jetzt schauen wir erstmal: Sei $x [mm] \in D\,,$ [/mm] dann ist also

    $0 < x [mm] \le [/mm] 1$ und $x [mm] \in \IQ\,.$ [/mm]

Sei

    [mm] $N_{\le}:=\{n \in \IN \mid d_n \le x\}$ [/mm] und [mm] $N_{>}:=\{n \in \IN \mid d_n > x\}\,.$ [/mm]
(Das sind jetzt nicht die besten Bezeichnungen - meinetwegen schreibe auch
[mm] $N_1$ [/mm] bzw. [mm] $N_2$ [/mm] oder [mm] $N_1(x)$ [/mm] bzw. [mm] $N_2(x)$ [/mm] dafür...)

Dann ist [mm] $\IN=N_{\le} \stackrel{d}{\cup}N_{>}\,.$ [/mm] Ferner gilt

    [mm] $F(x)=\sum_{n \in N_{\le}} 2^{-n}\,,$ [/mm]

da die Reihe absolut konvergiert. (Absolut konvergente Reihen sind summierbar).
Aber Du darfst meinetwegen auch

    [mm] $F(x)=\sum_{\substack{n=1\\ d_n \le x}}^\infty 2^{-n}$ [/mm]

schreiben.

Seien nun alle [mm] $x_n \in [/mm] D$ und es gelte $x > [mm] x_n \to x\,.$ [/mm] Dann gilt

    $0 < [mm] x_n \le [/mm] 1$ und [mm] $x_n \in \IQ$ [/mm] und $ x > [mm] x_n \to x\,.$ [/mm]

Da dann offensichtlich $F(x) [mm] \ge F(x_n)$ [/mm] gilt (aus [mm] $d_m \le x_n \le [/mm] x$ folgt [mm] $d_m \le [/mm] x$ und alle Summanden
sind [echt] positiv), reicht es uns zu zeigen, dass die positive Folge

    [mm] ${(F(x)-F(x_n))}_{n=1}^\infty$ [/mm]

nicht gegen 0 strebt.

Naja, ich sehe aber gerade auch nicht, wie man da weiter vorgehen kann.
Ich habe aber die Vermutung, dass Du da ein "Supremum-Argument" reinbringen
könntest. So ganz klar ist mir auch noch nicht, ob die Aussage da so wirklich
stimmt... Aber das sollten wir ja irgendwann erkennen. ;-)
Ich lasse mal auf halb beantwortet, vielleicht kann ja noch jemand mit
diesen Vorarbeiten eine entscheidende Idee zutragen...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Unstetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:39 Do 02.10.2014
Autor: Cccya

Hey sry, da hab ich bei der Notation nicht aufgepasst, es sollte immer
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] heißen. Ich versuch mal zu beschreiben, was meine Idee für den Beweis war, nämlich, dass es für jedes x [mm] \in [/mm] D ein spezifisches [mm] d_{i} [/mm] gibt für das [mm] d_{i}=x. [/mm] Bei allen [mm] d_{n}>d_{i} [/mm] wird die Indikatorfunktion und damit auch der Summand null. Aber bei [mm] d_{i} [/mm] wird die Indikatorfunktion für x bereits 1 aber für [mm] x_{k} \to [/mm] x <x noch null. Deshalb hat F(x) quasi immer einen Summanden>0 mehr als [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} F(x_{k}). [/mm] N soll dabei die natürliche Zahl i sein mit der [mm] d_{i}=x [/mm] wird.
So wie ich es jetzt aufgeschrieben habe funktioniert es glaube ich nur, wenn die Abzählung monoton fallend ist, aber der Gedanke mit dem einen Summanden > 0 mehr müsste eigentlich immer klappen. Zumindest in meiner Vorstellung :D

Viele Grüße,
Elias


Bezug
                        
Bezug
Unstetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:59 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hey sry, da hab ich bei der Notation nicht aufgepasst, es
> sollte immer
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] heißen. Ich versuch mal zu
> beschreiben, was meine Idee für den Beweis war, nämlich,
> dass es für jedes x [mm]\in[/mm] D ein spezifisches [mm]d_{i}[/mm] gibt für
> das [mm]d_{i}=x.[/mm] Bei allen [mm]d_{n}>d_{i}[/mm] wird die
> Indikatorfunktion und damit auch der Summand null. Aber bei
> [mm]d_{i}[/mm] wird die Indikatorfunktion für x bereits 1 aber für
> [mm]x_{k} \to[/mm] x <x noch null. Deshalb hat F(x) quasi immer
> einen Summanden>0 mehr als [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} F(x_{k}).[/mm]
> N soll dabei die natürliche Zahl i sein mit der [mm]d_{i}=x[/mm]
> wird.
>  So wie ich es jetzt aufgeschrieben habe funktioniert es
> glaube ich nur, wenn die Abzählung monoton fallend ist,
> aber der Gedanke mit dem einen Summanden > 0 mehr müsste
> eigentlich immer klappen. Zumindest in meiner Vorstellung
> :D

ne, da fehlt mir was. Ich meine, betrachte mal die auf $[-1,1]$ definierte Funktion

    [mm] $f(x)=\frac{1}{n}$ [/mm] für $|x| [mm] \in (\tfrac{1}{n+1},\;\tfrac{1}{n}]$ [/mm]

mit [mm] $f(0):=0\,.$ [/mm]
([Wohl-]Definiertheit klar?

    [mm] $[-1,1]=\stackrel{d}{\bigcup_{n=1}^\infty}[-\tfrac{1}{n},-\tfrac{1}{n+1})$ $\stackrel{d}{\cup}$ $\stackrel{d}{\bigcup_{n=1}^\infty}(\tfrac{1}{n+1},\tfrac{1}{n}]$ $\stackrel{d}{\cup} \{0\}\,.$) [/mm]

Dieses Ding ist stetig in [mm] $0\,,$ [/mm] aber $f(x) > 0$ für alle $x [mm] \in [-1,\,1] \setminus \{0\}\,.$ [/mm]

Du brauchst da schon "griffigere" Argumente.

Nebenbei: Du weißt ja auch, dass aus [mm] $a_n [/mm] > r$ im Falle der Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm]
gegen [mm] $a\,$ [/mm] generell keineswegs $a > [mm] r\,,$ [/mm] sondern eben nur $a [mm] \ge [/mm] r$ folgt.

Bei Dir sollte im Idealfall irgendwann sowas wie

    [mm] $\sum_{n \in M}2^{-n} \ge [/mm] p$

mit einem $p > 0$ stehen - wobei durchaus für dieses $M [mm] \subseteq \IN$ [/mm] dann [mm] $M=M(x)\,$ [/mm] sein
wird - ebenso [mm] $p=p(x)\,.$ [/mm]

Und noch ein anderes Beispiel:
Sei [mm] $S:=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\,.$ [/mm] Sei [mm] $s_n:=\sum_{k=n}^\infty 2^{-k}\,.$ [/mm] Hier sind
natürlich auch alle Differenzen

    [mm] $S-s_n [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm]

aber dennoch wird

    [mm] $S-s_n \to [/mm] 0$

gelten.

Oder mach' mir nochmal deutlich, warum sich Dein Argument hiervon deutlich
unterscheidet. Vielleicht übersehe ich ja was oder missverstehe etwas.

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Unstetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:39 Do 02.10.2014
Autor: tobit09

Hallo Elias!


Ich kann eine korrekte Lösungsidee herauslesen, die natürlich noch genau auszuführen und sauber zu formulieren ist.


Sei also [mm] $x\in [/mm] D$.
Dann gibt es genau ein [mm] $i\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x=d_i$. [/mm]

Um die Unstetigkeit von $F$ in $x$ nachzuweisen, wählen wir eine beliebige Folge [mm] $(x_k)_{k\in\IN}$, [/mm] die gegen $x$ konvergiert und [mm] $x_k
Deine Idee ist nun, wie folgt zu argumentieren: Es gilt

     [mm] $F(x)=\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n\le x}}2^{-n}=\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n
Aus meiner Sicht wäre das vorletzte Gleichheitszeichen ausführlich zu begründen.


Schneller geht es, wenn man stattdessen mit

     [mm] $F(x)>\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n
für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] argumentiert (wobei man das $>$ am Anfang wie oben begründet).
Daraus folgt dann ebenfalls, dass NICHT [mm] $\lim_{k\to\infty}F(x_k)=F(x)$ [/mm] gelten kann.
(Dazu beachte: [mm] $F(x)>F(x_k)$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] wäre nicht hinreichend; hier haben wir jedoch [mm] $F(x)>y\ge F(x_k)$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] für ein [mm] $y\in\IR$, [/mm] nämlich [mm] $y:=\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Unstetigkeit zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Do 02.10.2014
Autor: Marcel

Hallo Tobias,

> Hallo Elias!
>  
>
> Ich kann eine korrekte Lösungsidee herauslesen, die
> natürlich noch genau auszuführen und sauber zu
> formulieren ist.
>  
>
> Sei also [mm]x\in D[/mm].
>  Dann gibt es genau ein [mm]i\in\IN[/mm] mit
> [mm]x=d_i[/mm].
>  
> Um die Unstetigkeit von [mm]F[/mm] in [mm]x[/mm] nachzuweisen, wählen wir
> eine beliebige Folge [mm](x_k)_{k\in\IN}[/mm], die gegen [mm]x[/mm]
> konvergiert und [mm]x_k
> [mm]x_k:=x-\frac{1}{k}[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]), und wollen nun
> zeigen, dass NICHT [mm]\lim_{k\to\infty}F(x_k)=F(x)[/mm] gilt.
>  
> Deine Idee ist nun, wie folgt zu argumentieren: Es gilt
>  
> [mm]F(x)=\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n\le x}}2^{-n}=\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n
>  
> Aus meiner Sicht wäre das vorletzte Gleichheitszeichen
> ausführlich zu begründen.
>  
>
> Schneller geht es, wenn man stattdessen mit
>  
> [mm]F(x)>\blue{\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n
>  
> für alle [mm]k\in\IN[/mm] argumentiert (wobei man das [mm]>[/mm] am Anfang
> wie oben begründet).
>  Daraus folgt dann ebenfalls, dass NICHT
> [mm]\lim_{k\to\infty}F(x_k)=F(x)[/mm] gelten kann.
>  (Dazu beachte: [mm]F(x)>F(x_k)[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] wäre nicht
> hinreichend; hier haben wir jedoch [mm]F(x)>y\ge F(x_k)[/mm] für
> alle [mm]k\in\IN[/mm] für ein [mm]y\in\IR[/mm], nämlich
> [mm]\blue{y:=\sum_{\substack{n\in\IN\\d_n

[ok] (Natürlich ist $y > [mm] 0\,.$) [/mm]

P.S. Es war gestern wohl zu spät, man kann die Behauptung auch schnell
aus

    [mm] $F(x)-F(x_k)=\sum_{\substack{n=1\\d_n \le x}}^\infty 2^{-n}\;-\;\sum_{\substack{n=1\\d_n \le x_k}}^\infty 2^{-n} \ge 2^{-N_0}$ [/mm]

folgern, wobei [mm] $N_0 \in \IN$ [/mm] dasjenige mit [mm] $d_{N_0}=x$ [/mm] ist.

Beachtenswert dabei ist der Fakt [mm] $\IQ \ni x_k \to [/mm] x$ mit stets [mm] $x_k [/mm] < [mm] x\,$ [/mm] - ebenso
die Erkenntniss, dass [mm] $F\,$ [/mm] wachsend ist.

Gruß,
  marcel

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