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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Unterbestimmtes Lin. Gls.
Unterbestimmtes Lin. Gls. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unterbestimmtes Lin. Gls.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 29.04.2015
Autor: gsmv4

Aufgabe
[mm] \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \end{matrix} [/mm]

Ich habe dieses lineare Gleichungssystem gelöst, als Lösung bekam ich
x1= -1,5x4+0,5
x2= 3x4-1
x3= -5/2x4+3/2
x4= x4

Man soll aber eine einzige Mögliche Lösung herausbekommen, obwohl das Gleichungssystem unterbestimmt ist. Wie komme ich zu dieser hat jemand eine Idee?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Mi 29.04.2015
Autor: chrisno

Nun muss jeder, der Dir antworten will, erst einmal selbst rechnen, da Du Deinen REchenweg nicht angegeben hast.

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Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mi 29.04.2015
Autor: fred97


> [mm] \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \end{matrix} [/mm]
>  
> Ich habe dieses lineare Gleichungssystem gelöst, als
> Lösung bekam ich
> x1= -1,5x4+0,5
>  x2= 3x4-1
>  x3= -5/2x4+3/2
>  x4= x4
>  
> Man soll aber eine einzige Mögliche Lösung
> herausbekommen,


Das ist Unfug. Du hast völlig richtig gerechnet.

FRED


> obwohl das Gleichungssystem unterbestimmt
> ist. Wie komme ich zu dieser hat jemand eine Idee?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>  


Bezug
                
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Mi 29.04.2015
Autor: gsmv4

Also es muss rauskommen:

a=0
b=0
c=2/3
d=1/3

Was vielleicht noch erwähnt werden sollte a,b,c und d sind minimal 0 und höchstens 1.

Laut Lösung gibt es nur diese eine Kombination. Thema ist konvexe Linearkombination.

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Unterbestimmtes Lin. Gls.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mi 29.04.2015
Autor: reverend

Hallo gsmv4,

gib doch bitte in Zukunft die vollständige Aufgabenstellung und Deinen Rechenweg an. Dann bekommst Du hier sicher mehr Hilfe, und auch schneller.

> Also es muss rauskommen:
>  
> a=0
>  b=0
>  c=2/3
>  d=1/3
>  
> Was vielleicht noch erwähnt werden sollte a,b,c und d sind
> minimal 0 und höchstens 1.

Das sollte unbedingt erwähnt werden!

> Laut Lösung gibt es nur diese eine Kombination. Thema ist
> konvexe Linearkombination.

Dann forme doch mit dieser Zusatzinformation mal Deine Gleichungen für [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] in entsprechende Ungleichungsketten um, dann siehst Du mit Sicherheit viel klarer.

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 29.04.2015
Autor: gsmv4

Vielen Dank für die bisherige Hilfe!

Mit Ungleichungsketten habe ich leider noch nie gerechnet, geschweige denn weiß ich was das ist...

könnte mir jemand zeigen wie das geht?

Bezug
                                        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 29.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank für die bisherige Hilfe!
>  
> Mit Ungleichungsketten habe ich leider noch nie gerechnet,
> geschweige denn weiß ich was das ist...

das ist die Ausnutzung der Transitivität des [mm] $<\,$ [/mm] (und [mm] $=\,$): [/mm]

    $a [mm] \le [/mm] b$ und $b < [mm] c\,$ [/mm]

kannst Du schreiben als

    $a [mm] \le [/mm] b < [mm] c\,.$ [/mm]
  

> könnte mir jemand zeigen wie das geht?

Ich wiederhole mal das meiner Meinung nach Wichtigste, was reverend
gesagt hat:
Bitte liefere mal eine vollständige Aufgabenstellung. Fred ging bei seiner
Antwort davon aus, dass es keinerlei Zusatzbeschränkungen an die Variablen
[mm] $x_1,...,x_4$ [/mm] gebe. Dann redest Du plötzlich von Konvexkombinationen, das sind
Linearkombinationen der Art

    [mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k \textbf{r}_k$ [/mm]

mit $0 [mm] \le \lambda_k \le [/mm] 1$ (es reicht auch $0 [mm] \le \lambda_k$ [/mm] wegen der folgenden Bedingung für die Summe)
für alle [mm] $k\,$ [/mm] so, dass zudem [mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k=1\,.$ [/mm]
(Die letzte Bedingung findet man in Zeile 1 bei Deinem GLS wieder - zudem
wäre es besser, dabei den *Ergebnisvektor* zu kennzeichnen, also vor der
letzten Spalte ein | zu setzen, bspw. so:

$ [mm] \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 &| 1 \\ 4 & 5 & 4 & 1 &| 3 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & |3 \end{matrix} [/mm] $

Aber das ist hier nicht wirklich wesentlich...)

Siehe auch []http://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination#Konvexkombination

Bei Dir heißen die Skalare dann [mm] $x_k\,.$ [/mm]

Du hast also ein unterbestimmtes GLS mit Nebenbedingungen!

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mi 29.04.2015
Autor: gsmv4

Aufgabe
Die Vektor d = (3, 3)' liegt in der konvexen Hülle der Vektoren a = (4, 1)', b = (5, 2)', c = (4, 3)' und d = (1, 3)'. Wie lassen sie sich als konvexe Linearkombination von a bis d darstellen? Hinweis: Lösen sie das sich ergebende lineare Gleichungssystem.

So sieht die gesamte Aufgabenstellung aus, ich hoffe das hilft weiter...

Bezug
                                                        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mi 29.04.2015
Autor: chrisno

Sollst Du einen bestimmten Lösungsweg gehen, oder kommt es nur darauf an, das Du eine Lösung findest?
Ich habe mir das zuerst in ein Koordinatensystem gezeichnet und gesehen, dass (3/3) auf der Kante zwischen c und d (den hast Du zweimal vergeben) liegt. Also ergibt sich die Konvexkombination aus diesen beiden Vektoren, die anderen beiden Koeffizienten sind NUll.

> Ich habe dieses lineare Gleichungssystem gelöst, als Lösung bekam ich
> x1= -1,5x4+0,5
> x2= 3x4-1
> x3= -5/2x4+3/2

Aus x1= -1,5x4+0,5 folgt $0 [mm] \le x_4 \le \br{1}{3}$ [/mm]
Aus x2= 3x4-1 folgt [mm] $\br{1}{3} \le x_4 \le \br{2}{3}$ [/mm]
Dadurch ist [mm] $x_4 [/mm] = [mm] \br{1}{3}$ [/mm] festgelegt und alle anderen Koeffizienten auch.

Das ist natürlich keine Lösung, in der ein Algorithmus abgearbeitet wird.


Bezug
                                                                
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 Do 30.04.2015
Autor: gsmv4

Vielen Dank, das ist plausibel!

Wie könnte man diese Aufgabe mit einem standardisierten Algorithmus lösen?

Bezug
                                                                        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:45 Do 30.04.2015
Autor: chrisno

Davon habe ich keine Ahnung.

Bezug
                                                                                
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Unterbestimmtes Lin. Gls.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Do 30.04.2015
Autor: gsmv4

Gibt es ein Programm welches solche Gleichungen lösen kann und die Umformungen dokumentiert?

Bezug
                                                                                        
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Unterbestimmtes Lin. Gls.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Do 30.04.2015
Autor: fred97


> Gibt es ein Programm welches solche Gleichungen lösen kann
> und die Umformungen dokumentiert?

Davon habe ich keine Ahnung.

FRED


Bezug
                                                                                        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 So 03.05.2015
Autor: M.Rex


> Gibt es ein Programm welches solche Gleichungen lösen kann
> und die Umformungen dokumentiert?

Evtl die Seite von []Arndt brünner

Marius

Bezug
                                                                        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Do 30.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank, das ist plausibel!
>  
> Wie könnte man diese Aufgabe mit einem standardisierten
> Algorithmus lösen?

bestimmt. Ich würde dafür in Bücher zu Operations Research, Konvexgeometrie
oder Algorithmische Geometrie gucken.

Eventuell findest Du auch hier

    []http://www.informatik.uni-trier.de/~naeher/Professur/PROJECTS/HullQuickGraham/index.htm.bak

etwas, was Dir weiterhilft.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                        
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 So 03.05.2015
Autor: M.Rex


> Vielen Dank, das ist plausibel!

>

> Wie könnte man diese Aufgabe mit einem standardisierten
> Algorithmus lösen?

Leider gar nicht, bei Bedingungen/Forderungen, die auf Ungleichungen hinauslaufen, greift der MBGauß-Algorithmus nicht.
Setzt du bei unterbestimmten linearen Gleichungssystemen die entsprechndne Anzahl Parameter, kannst du dann aber wieder den Algorithmus nutzen.

Marius

Bezug
                                                                                
Bezug
Unterbestimmtes Lin. Gls.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 So 03.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > Vielen Dank, das ist plausibel!
>  >
>  > Wie könnte man diese Aufgabe mit einem

> standardisierten
>  > Algorithmus lösen?

>  
> Leider gar nicht, bei Bedingungen/Forderungen, die auf
> Ungleichungen hinauslaufen, greift der
> MBGauß-Algorithmus nicht.
>  Setzt du bei unterbestimmten linearen Gleichungssystemen
> die entsprechndne Anzahl Parameter, kannst du dann aber
> wieder den Algorithmus nutzen.

Du meinst damit *Schlupfvariablen*, oder? So kenne ich das jedenfalls aus
Operations Research. Daher auch der Hinweis, mal in entsprechende
Literatur zu gucken!

Gruß,
  Marcel

Bezug
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