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Untermannigfaltigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Do 25.08.2016
Autor: Schobbi

Aufgabe
Bestimmen Sie, ob die folgende Teilmengen M [mm] \subset \IR^3 [/mm] eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] darstellt

[mm] M=\{(x,y,z)\in\IR^3 : x^2+y^2-(z-1)^2-2=0=x^2+y^2+z^3-3\} [/mm]

Hallo zusammen, ich habe obige Aufgabe mal druchgerechnet, bin mich aber nicht sicher ob ich zum richtigen Schluss komme, für einen kurzen Kommentar bin ich sehr dankbar :-)

Ich habe zunächst die partiellen Ableitungen von
[mm] f_1(x,y,z)=(x^2+y^2-(z-1)^2-2 [/mm] und [mm] f_2(x,y,z)=x^2+y^2+z^3-3 [/mm] bestimmt, dies darf ich machen, da diese partiell diffbar sind, aus Verknüpfung partiell diffbarer Funktionen.

Somit ergibt sich die Jacobimatrix:
[mm] J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 2x & 2y & 3z^2} [/mm]

Jetzt muss ich doch nur noch gucken welchen Rang diese Matrix hat:
Für [mm] J_f(x,y,z) [/mm] ergibt sich mit Subtraktion der beiden Zeilen
[mm] J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 0 & 0 & 3z^2+2z-2} [/mm]

Diese Matrix besitzt eine Nullzeile (also nicht vollen Rang), wenn [mm] z_{1,2}=-\bruch{1}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] ist.

Durch Einsetzen in M ist aber ersichtlich, dass o.g. [mm] z_{1,2} [/mm] nicht in M liegen, somit existiert keine Nullzeile, und somit hat die Matrix vollen Rang, also rang(J)=2.

Da gilt: dim Raum - rang J = dim UMF, also 3-2=1 ist M eine 1-dim UMF des [mm] \IR^3. [/mm]

Was sagt ihr dazu? DANKE für Eure Hilfe
LG


        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Do 25.08.2016
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

> Bestimmen Sie, ob die folgende Teilmengen M [mm]\subset \IR^3[/mm]
> eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3[/mm] darstellt
>  
> [mm]M=\{(x,y,z)\in\IR^3 : x^2+y^2-(z-1)^2-2=0=x^2+y^2+z^3-3\}[/mm]
>  
> Hallo zusammen, ich habe obige Aufgabe mal druchgerechnet,
> bin mich aber nicht sicher ob ich zum richtigen Schluss
> komme, für einen kurzen Kommentar bin ich sehr dankbar
> :-)
>  
> Ich habe zunächst die partiellen Ableitungen von
>  [mm]f_1(x,y,z)=(x^2+y^2-(z-1)^2-2[/mm] und [mm]f_2(x,y,z)=x^2+y^2+z^3-3[/mm]
> bestimmt, dies darf ich machen, da diese partiell diffbar
> sind, aus Verknüpfung partiell diffbarer Funktionen.
>  
> Somit ergibt sich die Jacobimatrix:
>  [mm]J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 2x & 2y & 3z^2}[/mm]
>  
> Jetzt muss ich doch nur noch gucken welchen Rang diese
> Matrix hat:
>  Für [mm]J_f(x,y,z)[/mm] ergibt sich mit Subtraktion der beiden
> Zeilen
>  [mm]J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 0 & 0 & 3z^2+2z-2}[/mm]
>  
> Diese Matrix besitzt eine Nullzeile (also nicht vollen
> Rang), wenn [mm]z_{1,2}=-\bruch{1}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm]
> ist.
>  
> Durch Einsetzen in M ist aber ersichtlich, dass o.g.
> [mm]z_{1,2}[/mm] nicht in M liegen, somit existiert keine Nullzeile,
> und somit hat die Matrix vollen Rang, also rang(J)=2.

Richtig , der Rang deiner Matrix ist 2.

>  
> Da gilt: dim Raum - rang J = dim UMF, also 3-2=1 ist M eine
> 1-dim UMF des [mm]\IR^3.[/mm]

o.k.

>  
> Was sagt ihr dazu? DANKE für Eure Hilfe

in Ordnung.

Lg

>  LG
>  


Bezug
        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Do 25.08.2016
Autor: fred97

Es gibt noch einen Fall, indem die Matrix

  
$ [mm] J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 2x & 2y & 3z^2} [/mm] $

nicht vollen Rang hat: nämlich für x=y=0 und z=1. Der Punkt (0,0,1) liegt nicht in M, wie man sofort sieht.

Aber erwähnen sollte man diesen Fall.

FRED

Bezug
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