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Urbild abg., ZWE,stettig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mi 06.05.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Zeige [mm] f:\IR \rightarrow \IR [/mm] ist  genau dann stetig wenn f die Zwischenwerteigenschaft erfüllt und die Urbildmenge jedes Punktes abgeschlossen ist.

Hallo

[mm] \Rightarrow [/mm]
ZWE erfüllt ist nach ANA1 klar.

Sei y [mm] \in \IR [/mm] beliebig aber fest, ZZ.: [mm] f^{-1}(y)=\{x \in \IR| f(x)=y\} [/mm] abgeschlossen.
Sei x [mm] \in \IR \setminus [f^{-1} [/mm] (y)] (d.h. f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)), so genügt ZZ: [mm] \exists \delta>0: U_{\delta} [/mm] (x) [mm] \subseteq \IR \setminus [f^{-1} [/mm] (y)]
Indirekt angenommen ein solches [mm] \delta [/mm] existiert nicht: [mm] \forall \delta>0: \exists x_0 [/mm] mit [mm] |x-x_0|<\delta: f(x_0)= f^{-1} [/mm] (y)
Insebesondere für [mm] \delta:=1/n \exists x_n \in U_{1/n} [/mm] (x): [mm] f(x_n)=f^{-1}(y). [/mm]
Nach Konstruktion [mm] x_n \rightarrow [/mm] x [mm] (n\rightarrow \infty). [/mm]
Wegen der Stetigkeit würde folgen [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)=f(x) [/mm]
wobei [mm] f(x)\not= [/mm] f(y).
Jedoch die  konstante Funktion [mm] (f(x_n))_{n\in\IN} [/mm] muss gegen [mm] f^{-1} [/mm] (y) konvergieren. WID.

[mm] \Leftarrow [/mm]
Überlegungen, die ich versuche zu einen Beweis zu formulieren:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig. Da die Urbildmenge jedes Punktes abgeschlossen ist folgt [mm] D_1=\IR \setminus f^{-1} (\{f(x_0)+\epsilon\}) [/mm] offen, d.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_1: \exists \delta_1 [/mm] so dass [mm] \forall \overline{x} [/mm] mit [mm] |x-\overline{x}|<\delta_1 [/mm] folgt [mm] f(\overline{x}) \not= f(x_0) [/mm] + [mm] \epsilon. [/mm]
Analog [mm] D_2=\IR \setminus f^{-1} (\{f(x_0)-\epsilon\}) [/mm] offen, d.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_2: \exists \delta_2 [/mm] so dass [mm] \forall \overline{x} [/mm] mit [mm] |x-\overline{x}|<\delta_2 [/mm] folgt [mm] f(\overline{x}) \not= f(x_0) [/mm] + [mm] \epsilon. [/mm]
Wenn man nun das Minimum wählt: min( [mm] \delta_1, \delta_2)=: \delta, [/mm] erfüllt dies:
[mm] (\*) \forall [/mm] x [mm] \in D_1 \cup D_2: \exists \delta [/mm] so dass [mm] \forall \overline{x} [/mm] mit [mm] |x-\overline{x}|<\delta [/mm] folgt [mm] f(\overline{x}) \not\in \{ f(x_0) + \epsilon, f(x_0) - \epsilon \} [/mm]

Angenommen [mm] f(\overline{x}) [/mm] außerhalb von [mm] [f(x_0)-\epsilon,f(x_0) [/mm] + [mm] \epsilon]. [/mm]
Fall 1) [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] f(x_0)+\epsilon [/mm] < [mm] f\overline{x}) [/mm]
Nach ZWE [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [x_0,\overline{x}]: f(s)=f(x_0)+\epsilon [/mm]
Das ist aber nun ein Widerspruch zu [mm] (\*) [/mm] wenn ich es richtig sehe?
Fall 2) [mm] f\overline(x)) [/mm] < [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] \epsilon [/mm]  < [mm] f(x_0) [/mm]
Nach ZWE [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [\overline{x},x_0]: f(s)=f(x_0)-\epsilon [/mm]
Widerspruch zu [mm] (\*) [/mm]

Daraus folgt [mm] f(\overline{x}) \in (f(x_0) [/mm] + [mm] \epsilon, f(x_0) [/mm] - [mm] \epsilon), [/mm] d.h. [mm] f(U_{\delta} (x_0)) \in U_{\epsilon} (f(x_0)) [/mm]
[mm] \Box [/mm]

LG,
sissi

        
Bezug
Urbild abg., ZWE,stettig: Rück-Richtung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Do 07.05.2015
Autor: tobit09

Hallo sissile!


Ich habe mir bisher nur die (interessantere) Rück-Richtung angeschaut.

Sie sieht bei dir sehr gut aus! [ok]

Daher nur kleinere Anmerkungen:


> Zeige [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] ist  genau dann stetig wenn f
> die Zwischenwerteigenschaft erfüllt und die Urbildmenge
> jedes Punktes abgeschlossen ist.


> [mm]\Leftarrow[/mm]
>  Überlegungen, die ich versuche zu einen Beweis zu
> formulieren:
>  Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig.

Führe auch [mm] $x_0$ [/mm] mit der Formulierung "Sei [mm] $x_0\in\IR$" [/mm] ein.

> Da die Urbildmenge jedes Punktes
> abgeschlossen ist folgt [mm]D_1=\IR \setminus f^{-1} (\{f(x_0)+\epsilon\})[/mm]
> offen, d.h. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in D_1: \exists \delta_1[/mm] so dass
> [mm]\forall \overline{x}[/mm] mit [mm]|x-\overline{x}|<\delta_1[/mm] folgt
> [mm]f(\overline{x}) \not= f(x_0)[/mm] + [mm]\epsilon.[/mm]
>  Analog [mm]D_2=\IR \setminus f^{-1} (\{f(x_0)-\epsilon\})[/mm]
> offen, d.h. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in D_2: \exists \delta_2[/mm] so dass
> [mm]\forall \overline{x}[/mm] mit [mm]|x-\overline{x}|<\delta_2[/mm] folgt
> [mm]f(\overline{x}) \not= f(x_0)[/mm] + [mm]\epsilon.[/mm]

(Tippfehler: Am Ende muss es - statt + heißen.)

>  Wenn man nun das Minimum wählt: min( [mm]\delta_1, \delta_2)=: \delta,[/mm]
> erfüllt dies:
>  [mm](\*) \forall[/mm] x [mm]\in D_1 \cup D_2: \exists \delta[/mm] so dass
> [mm]\forall \overline{x}[/mm] mit [mm]|x-\overline{x}|<\delta[/mm] folgt
> [mm]f(\overline{x}) \not\in \{ f(x_0) + \epsilon, f(x_0) - \epsilon \}[/mm]

Es muss [mm] $D_1\cap D_2$ [/mm] statt [mm] $D_1\cup D_2$ [/mm] heißen.


Für das Folgende muss erklärt werden, was [mm] $\overline{x}$ [/mm] bezeichnen soll:
"Sei [mm] $\overline{x}\in U_\delta(x_0)$." [/mm]

Entscheidend ist noch die Beobachtung, dass [mm] $x_0\in D_1\cap D_2$ [/mm] gilt, also (*) speziell auf [mm] $x:=x_0$ [/mm] anwendbar ist.

Insbesondere gilt [mm] $f(\overline{x})\notin\{f(x_0)+\epsilon,f(x_0)-\epsilon\}$ [/mm] (für unser eben eingeführtes [mm] $\overline{x}$). [/mm]

> Angenommen [mm]f(\overline{x})[/mm] außerhalb von
> [mm][f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[/mm] + [mm]\epsilon].[/mm]
> Fall 1) [mm]f(x_0)[/mm] < [mm]f(x_0)+\epsilon[/mm] < [mm]f\overline{x})[/mm]
>  Nach ZWE [mm]\exists[/mm] s [mm]\in [x_0,\overline{x}]: f(s)=f(x_0)+\epsilon[/mm]

Es ist nicht notwendig [mm] $x_0<\overline{x}$; [/mm] es könnte auch [mm] $x_0>\overline{x}$ [/mm] gelten.
Ersetze daher [mm] $\exists s\in[x_0,\overline{x}]$ [/mm] durch "es existiert ein [mm] $s\in\IR$, [/mm] das zwischen [mm] $x_0$ [/mm] und $x$ liegt mit der Eigenschaft...".

> Das ist aber nun ein Widerspruch zu [mm](\*)[/mm] wenn ich es
> richtig sehe?

Ja.
Wegen [mm] $\overline{x}\in U_\delta(x_0)$ [/mm] gilt auch [mm] $s\in U_\delta(x_0)$. [/mm]
Nach (*) angewandt auf [mm] $x:=x_0$ [/mm] gilt somit [mm] $f(s)\notin\{f(x_0)+\epsilon,f(x_0)-\epsilon\}$. [/mm]

>  Fall 2) [mm]f\overline(x))[/mm] < [mm]f(x_0)[/mm] - [mm]\epsilon[/mm]  < [mm]f(x_0)[/mm]
>  Nach ZWE [mm]\exists[/mm] s [mm]\in [\overline{x},x_0]: f(s)=f(x_0)-\epsilon[/mm]
>  
> Widerspruch zu [mm](\*)[/mm]

Fall 2 ist analog zu Fall 1 und es gelten die gleichen Anmerkungen.


> Daraus folgt [mm]f(\overline{x}) \in (f(x_0)[/mm] + [mm]\epsilon, f(x_0)[/mm]
> - [mm]\epsilon),[/mm] d.h. [mm]f(U_{\delta} (x_0)) \in U_{\epsilon} (f(x_0))[/mm]

Am Schluss muss es [mm] $\subseteq$ [/mm] statt [mm] $\in$ [/mm] heißen.


Viele Grüße
Tobias


Bezug
        
Bezug
Urbild abg., ZWE,stettig: Hin-Richtung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Fr 08.05.2015
Autor: tobit09

Jetzt zur Hin-Richtung, die du ebenfalls im Wesentlichen richtig hast [ok]:


> Zeige [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] ist  genau dann stetig wenn f
> die Zwischenwerteigenschaft erfüllt und die Urbildmenge
> jedes Punktes abgeschlossen ist.


> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  ZWE erfüllt ist nach ANA1 klar.

Ja (Zwischenwertsatz).

> Sei y [mm]\in \IR[/mm] beliebig aber fest, ZZ.: [mm]f^{-1}(y)=\{x \in \IR| f(x)=y\}[/mm]
> abgeschlossen.

Ja.

>  Sei x [mm]\in \IR \setminus [f^{-1}[/mm] (y)] (d.h. f(x) [mm]\not=[/mm]
> f(y)), so genügt ZZ: [mm]\exists \delta>0: U_{\delta}[/mm] (x)
> [mm]\subseteq \IR \setminus [f^{-1}[/mm] (y)]

Ja.

> Indirekt angenommen ein solches [mm]\delta[/mm] existiert nicht:
> [mm]\forall \delta>0: \exists x_0[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta: f(x_0)= f^{-1}[/mm]
> (y)

Am Ende muss es [mm] $f(x_0)\in f^{-1}(y)$ [/mm] oder [mm] $f(x_0)=y$ [/mm] heißen.

>  Insebesondere für [mm]\delta:=1/n \exists x_n \in U_{1/n}[/mm]
> (x): [mm]f(x_n)=f^{-1}(y).[/mm]

Gleicher (Tipp?)Fehler am Ende.

>  Nach Konstruktion [mm]x_n \rightarrow[/mm] x [mm](n\rightarrow \infty).[/mm]

Ja, das lässt sich leicht nachprüfen.

> Wegen der Stetigkeit würde folgen [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)=f(x)[/mm]
>  
> wobei [mm]f(x)\not=[/mm] f(y).

Ja.

>  Jedoch die  konstante Funktion

Besser: "Folge" statt "Funktion".

[mm](f(x_n))_{n\in\IN}[/mm] muss

> gegen [mm]f^{-1}[/mm] (y) konvergieren. WID.

Sie konvergiert gegen y, nicht gegen [mm] $f^{-1}(y)$. [/mm]


Eine einfachere Alternative für die Hinrichtung:
Nutze das Kriterium, dass eine Teilmenge [mm] $F\subseteq \IR$ [/mm] genau dann abgeschlossen ist, wenn für jede in Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Elementen aus F, die gegen ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] konvergiert, auch [mm] $x\in [/mm] F$ gilt.

Falls schon bekannt ist, dass Abbildungen zwischen topologischen Räumen genau dann stetig sind, wenn Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, ist für die Hinrichtung sogar fast nichts zu tun.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Urbild abg., ZWE,stettig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:12 So 10.05.2015
Autor: sissile

Vielen vielen Dank.
Freut mich, dass du dir meinen Beweis so genau angeschaut hast.

Danke der Alternativbeweis ist natürlich ein Einzeiler. Danke!

LG,
sissi

Bezug
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