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VR über K ,ES,lineare unabhäng: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mi 18.11.2015
Autor: mathnoob9

Schönen Abend Leute,
Folgende Aufgabenstellung würde ich gerne mit eurer Hilfe verstehen

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und T [mm] \subseteq [/mm] V ein Erzeugendensystem sowie S [mm] \subseteq [/mm] V linear unabhängig.
Nun soll ich zwei Aussagen zeigen:
1.Die Menge S ist genau dann eine Basis von V wenn [mm] |S|=dim_K [/mm] V

2.Die Menge T ist genau dann eine Basis von V, wenn [mm] |T|=dim_K [/mm] V

Soweit so gut :D

zu 1.:
ich soll beweisen das S genau dann Basis von V ist wenn die Mächtigkeit der Basis gleich der Dimension von V ist.

S ist Basis von V wenn S minimales Erzeugendensystem von V ist und S linear unabhängig ist.
also gibt es den Nullvektor aus elementen aus S nur als triviale Lösung:
[mm] 0*s_1+...+0*s_n=0_1,.....0_n [/mm]    (skalare bzw. 0 [mm] \in [/mm] K )

hm ich würde jetzt einen indirekten Beweis durchführen mit der Annahme:
|S| [mm] \not= dim_K [/mm] V

S wäre jetzt linear abhängig also nurnoch ein ES von V aber kein minimales ES also keine Basis.
[mm] a_1*s_1+...+a_n*s_n=0 [/mm]          (a [mm] \in [/mm] K)

nullvektor also auch nichttrivial darstelbar also mind. ein skalar [mm] \not= [/mm] 0

Weiss nicht so recht ob meine idee stimmt ist irgendwie nicht schlüssig vielleicht kann ja einer von euch drüberschauen


Ist die 2. Aussage nicht fast dasselbe nur irgendwie anders?^^











Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
VR über K ,ES,lineare unabhäng: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:23 Do 19.11.2015
Autor: fred97


> Schönen Abend Leute,
>  Folgende Aufgabenstellung würde ich gerne mit eurer Hilfe
> verstehen
>  
> Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem
> Körper K und T [mm]\subseteq[/mm] V ein Erzeugendensystem sowie S
> [mm]\subseteq[/mm] V linear unabhängig.
>  Nun soll ich zwei Aussagen zeigen:
>  1.Die Menge S ist genau dann eine Basis von V wenn
> [mm]|S|=dim_K[/mm] V
>  
> 2.Die Menge T ist genau dann eine Basis von V, wenn
> [mm]|T|=dim_K[/mm] V
>  
> Soweit so gut :D
>  
> zu 1.:
>  ich soll beweisen das S genau dann Basis von V ist wenn
> die Mächtigkeit der Basis gleich der Dimension von V ist.
>  
> S ist Basis von V wenn S minimales Erzeugendensystem von V
> ist und S linear unabhängig ist.
>  also gibt es den Nullvektor aus elementen aus S nur als
> triviale Lösung:
>  [mm]0*s_1+...+0*s_n=0_1,.....0_n[/mm]    (skalare bzw. 0 [mm]\in[/mm] K )
>  
> hm ich würde jetzt einen indirekten Beweis durchführen
> mit der Annahme:
>  |S| [mm]\not= dim_K[/mm] V
>  
> S wäre jetzt linear abhängig

Wieso ????


Es gibt 2 Fälle, wenn |S| [mm]\not= dim_K[/mm] V:

Fall 1: |S| [mm]< dim_K[/mm] V

Fall 2:  |S| [mm]> dim_K[/mm] V

Zeige, dass in beiden Fällen S keine Basis von V sein kann.



> also nurnoch ein ES von V
> aber kein minimales ES also keine Basis.
>  [mm]a_1*s_1+...+a_n*s_n=0[/mm]          (a [mm]\in[/mm] K)
>  
> nullvektor also auch nichttrivial darstelbar also mind. ein
> skalar [mm]\not=[/mm] 0
>  
> Weiss nicht so recht ob meine idee stimmt ist irgendwie
> nicht schlüssig vielleicht kann ja einer von euch
> drüberschauen
>  
>
> Ist die 2. Aussage nicht fast dasselbe nur irgendwie
> anders?^^

Ja, was hast Du an Überlegungen dazu angestellt ??

FRED

>  
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
VR über K ,ES,lineare unabhäng: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:15 Do 19.11.2015
Autor: mathnoob9

Danke habe es jetzt hinbekommen !

Bezug
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