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Forum "Uni-Stochastik" - Varianz Schätzer ausrechnen
Varianz Schätzer ausrechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Varianz Schätzer ausrechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Sa 24.06.2017
Autor: bla234

Aufgabe
[mm] F_{X}(\nu) [/mm] = [mm] \bruch{\nu}{\theta} [/mm]
[mm] f_{X}(\nu)=\bruch{1}{\theta} [/mm]
[mm] 0\le\nu\le\theta [/mm]
E[X] = [mm] \bruch{\theta}{2} [/mm]
[mm] T(X^n) [/mm] = [mm] \bruch{2}{N}*\summe_{i=1}^{N}X_{i} [/mm]
Berechne Var(T).

Ich habe begonnen die Varianz so auszurechnen:
Var(T) = [mm] E[T^2] [/mm] - [mm] E[T]^2 [/mm]

E[T] = [mm] \bruch{2}{N}*\summe_{i=1}^{N}E[X_{i}] [/mm] = [mm] \theta [/mm]

[mm] E[T^2] [/mm] = [mm] E[(\bruch{2}{N}*\summe_{i=1}^{N}X_{i} )^2] [/mm] = [mm] E[\bruch{4}{N^{2}}(\summe_{i=1}^{N}X_{i})^2] [/mm] = [mm] \bruch{4}{N^{2}}*E[(\summe_{i=1}^{N}X_{i})^2] [/mm] = [mm] \bruch{4}{N^{2}}*(\summe_{i=1}^{N}E[X_{i}])^2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{N^{2}}*(\summe_{i=1}^{N}\bruch{\theta}{2})^2 [/mm] = [mm] \theta^2 [/mm]

Aber das ist ja mehr als offensichtlich falsch dann wäre ja Var(T) = 0. Ich vermute, dass das Quadrat der Summe falsch ist oder es nicht erlaubt ist den Erwartungswert in die Quadrierte Summe hereinzuziehen.
Ich stecke fest. Wie kann ich dieses Quadrat der Summe so auflösen dass es korrekt ist?

        
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 24.06.2017
Autor: luis52

Moin, i.a. ist

$ [mm] E[(\summe_{i=1}^{N}X_{i})^2] \ne(\summe_{i=1}^{N}E[X_{i}])^2 [/mm] $

Bezug
                
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 So 25.06.2017
Autor: bla234

Danke. Jetzt bin einen Schritt weiter gekommen.

[mm] (\summe_{i=1}^{N}X_{i})^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} [/mm] ( [mm] \summe_{j=1, i \not= j}^{n}X_{i}X_{j} [/mm] + [mm] \summe_{j=1, i = j}^{n}X_{i}^2) [/mm]

[mm] E[X^2] [/mm] = [mm] \bruch{\theta^2}{2} [/mm]  und
E[X] = [mm] \bruch{\theta}{2} [/mm]

=> [mm] E[T^2] [/mm] = [mm] \bruch{4}{N^2} [/mm] N [mm] [(N-1)*\bruch{\theta^2}{4} [/mm] + N [mm] \bruch{\theta^2}{2}] [/mm] = [mm] \theta^2 (1-\bruch{1}{3N}) [/mm]

=> Var[T] [mm] =\theta^2 (1-\bruch{1}{3N}) [/mm] - [mm] \theta^2 [/mm] = [mm] -\bruch{\theta^2}{3N} [/mm]

Jetzt bin ich noch verwirrt wegen dem Minus. Es gilt doch
Var(X) [mm] \ge [/mm] 0.

Ich sehe aber nicht wo ich das fälschlicherweise eingebaut habe.

Bezug
                        
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 So 25.06.2017
Autor: luis52

Leider ist deine Aufgabenformulierung sehr kryptisch. Was ist [mm] $X_1,\dots,X_N$? [/mm] Eine Stichprobe?

Bezug
                                
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 So 25.06.2017
Autor: bla234

Also [mm] X_{i} [/mm] sind Zufallsvariablen. Mit [mm] X^N [/mm] meine ich [mm] X_{1}, X_{2}, [/mm] ... , [mm] X_{N}. [/mm]
X : [mm] \Omega \to [/mm] [0, [mm] \theta] [/mm]


Die Zufallsvariablen sind gleichverteilt mit [mm] \bruch{1}{\theta}. [/mm] Jetzt hab ich einen Schätzer
T : [0, [mm] \theta] \to \Theta [/mm]
wobei [mm] \theta \in \Theta [/mm]
Der Schätzer wurde so wie oben beschrieben festgelegt und jetzt soll ich die Varianz dafür ausrechnen.

Bezug
                                        
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 So 25.06.2017
Autor: luis52


> Also [mm]X_{i}[/mm] sind Zufallsvariablen. Mit [mm]X^N[/mm] meine ich [mm]X_{1}, X_{2},[/mm]
> ... , [mm]X_{N}.[/mm]
> X : [mm]\Omega \to[/mm] [0, [mm]\theta][/mm]
>

Und dabei wirtd nichts vorausgesetzt? Keine Unabhaengigkeit? Keine Unkorreliertheit? Dann ist die Aufgabe unloesbar.

Bezug
                                                
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 So 25.06.2017
Autor: bla234

Es steht nicht in der Aufgabe. Aber ich denke und bin auch bei meinen Rechnungen offensichtlich davon ausgegangen, dass die Variablen iid sind.
Kannst du mir helfen mit dem Minus ich glaube alles andere habe ich richtig jetzt.

Bezug
                        
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 So 25.06.2017
Autor: luis52

Gut, unterstellen wir, dass [mm] $X_1,\dots,X_N$ [/mm] i.i.d. sind.

Es ist [mm] $\operatorname{Var}[T(X^n)]$ [/mm] zu berechnen. Dein Ansatz, [mm] $\operatorname{Var}[T(X^n)]=$ \operatorname{E}[T(X^n)^2]- \operatorname{E}[T(X^n)]^2$ [/mm] zu nutzen, ist mir zu umstaendlich. Direkter ist

$ [mm] \operatorname{Var}[T(X^n)] [/mm] = [mm] \operatorname{Var}[\bruch{2}{N}\cdot{}\summe_{i=1}^{N}X_{i}]=\bruch{4}{N^2}\summe_{i=1}^{N}\operatorname{Var}[X_{i}]$. [/mm]

Du musst jetzt nur noch [mm] $\operatorname{Var}[X_i]$ [/mm] ausrechnen. (Uebrigens, [mm] $\operatorname{E}[X_i^2]= \theta^2/2$ [/mm] ist nicht korrekt ...)

Bezug
                                
Bezug
Varianz Schätzer ausrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 So 25.06.2017
Autor: bla234

Vielen Dank, ich glaube jetzt hab ich es.

Also
[mm] E[X^2] [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\theta}{x^2 \bruch{1}{\theta} dx}= \bruch{\theta^2}{3} [/mm]

[mm] \operatorname{Var}[X] [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] E[X]^2 [/mm] = [mm] \bruch{\theta^2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{\theta^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{\theta^2}{12} [/mm]

[mm] \bruch{4}{N^2}\summe_{i=1}^{N}\operatorname{Var}[X_{i}] [/mm] = [mm] \bruch{4}{N^2}\bruch{N \theta^2}{12}= \bruch{\theta^2}{3N} [/mm]

Danke für den einfacheren Ansatz - mit dem komplizierten kommt jetzt natürlich auch das richtige raus:
[mm] \bruch{4}{N^2}(N[\bruch{(N-1)\theta^2}{4}+\bruch{N\theta^2}{3}])-\theta^2 [/mm] = [mm] \theta^2 [/mm] - [mm] \bruch{\theta^2}{N}+\bruch{4\theta^2}{3N}-\theta^2 [/mm] = [mm] \bruch{\theta^2}{3N} [/mm]


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