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Variation der Konstanten: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mo 11.01.2016
Autor: Hamd.44

Aufgabe
Lösen Sie für x [mm] \ge [/mm] 1 das Anfangsproblem

[mm] 2x^{2}y''(x)-xy'(x)+y(x)=2x [/mm] mit y(1)=0,    y'(1)=-1

durch überführung in ein lineares System erster Ordnung.

Hallo Leute,

ich habe eine kleines Problem mit der oben genannten Aufgabe. Koenntet Ihr vielleicht einen Ansatz zum Losen der Aufgabe geben?


Vg,
Hamd.44

        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Mo 11.01.2016
Autor: fred97


> Lösen Sie für x [mm]\ge[/mm] 1 das Anfangsproblem
>  
> [mm]2x^{2}y''(x)-xy'(x)+y(x)=2x[/mm] mit y(1)=0,    y'(1)=-1
>  
> durch überführung in ein lineares System erster Ordnung.
>  Hallo Leute,
>  
> ich habe eine kleines Problem mit der oben genannten
> Aufgabe. Koenntet Ihr vielleicht einen Ansatz zum Losen der
> Aufgabe geben?

Zunächst schreiben wir die gegebene DGL in der Form

(*)  [mm] $y''=\bruch{1}{2x}y'-\bruch{1}{2x^2}y+x$ [/mm]

Edit: ganz rechts lautet es natürlich [mm] $+\frac{1}{x}$ [/mm]



Setzt man [mm] z_1:y [/mm] und [mm] z_2:=y', [/mm] so geht (*) über in das lineare System

[mm] z_1'=z_2 [/mm]

[mm] z_2'=\bruch{1}{2x}z_2-\bruch{1}{2x^2}z_1+x [/mm]

Edit : auch hier [mm] +\frac{1}{x} [/mm]

Setzt man [mm] $z:=\vektor{z_1 \\ z_2}, [/mm] so schreibt sich obiges System kompakt so:

[mm] $z'=\pmat{ 0 & 1 \\ -\bruch{1}{2x^2} & \bruch{1}{2x} }*z+\vektor{0 \\ x}$ [/mm]


Edit: hier lautet es dann natürlich:

[mm] $z'=\pmat{ 0 & 1 \\ -\bruch{1}{2x^2} & \bruch{1}{2x} }*z+\vektor{0 \\ 1/x}$ [/mm]
FRED

>  
>
> Vg,
>  Hamd.44


Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Mo 11.01.2016
Autor: Hamd.44

Ich verstehe dein Vorgehen, muesste aber die Gleichung (*) nicht:
$ [mm] y''=\bruch{1}{2x}y'-\bruch{1}{2x^2}y+\bruch{1}{x} [/mm] $
lauten?



Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mo 11.01.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Ich verstehe dein Vorgehen, muesste aber die Gleichung (*)
> nicht:
> [mm]y''=\bruch{1}{2x}y'-\bruch{1}{2x^2}y+\bruch{1}{x}[/mm]
> lauten?

>
>

So sollte es sein, ja.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Variation der Konstanten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 11.01.2016
Autor: Hamd.44

Kann mir auch jemand die Fundamentalmatrix nennen, die ich zum loesen des inhomogenen Gleichungssystem brauche?

Vielen Dank!


Vg,
Hamd.44

Bezug
                                        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mo 11.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Kann mir auch jemand die Fundamentalmatrix nennen, die ich
> zum loesen des inhomogenen Gleichungssystem brauche?

Na, was ist denn mit ein wenig Eigeninitiative?

Leider haben wir hier kein System mit konstanten Koeffizienten, das man nach Schema F herunterrechnen kann.

Was habt ihr denn behandelt?

Kennst du vllt. ein Reduktionsverfahren, wenn du eine spezielle Lösung kennst?


>

> Vielen Dank!

>
>

> Vg,
> Hamd.44

Gruß

schachuzipus

Bezug
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