Vektor in Kern? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mi 24.01.2007 | | Autor: | bob86a |
Hallo! Ich hätte da mal eine kleine Frage...
Also angenommen, ich habe die Abbildungsmatrix einer lin. Abb. gegeben und zudem einen "Bildvektor" und möchte feststellen, ob der auch tatsächlich im Bild liegt...
Dann müsste ich doch eigentlich nur den Vektor mit der Matrix multiplizieren und sehen, ob der Nullvektor rauskommt, oder nicht?!
Danke schonmal! :)
Lg,
Bernd
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> Hallo! Ich hätte da mal eine kleine Frage...
> Also angenommen, ich habe die Abbildungsmatrix einer lin.
> Abb. gegeben und zudem einen "Bildvektor" und möchte
> feststellen, ob der auch tatsächlich im Bild liegt...
> Dann müsste ich doch eigentlich nur den Vektor mit der
> Matrix multiplizieren und sehen, ob der Nullvektor
> rauskommt, oder nicht?!
Hallo,
nein, so geht das nicht.
Und es kann schon oft rein rechentechnisch nicht gehen: nämlich wenn die darstellende Matrix nicht quadratisch ist.
Wenn Du wissen möchtest, ob ein Dir vorgelegter Vektor im Bild der Abbildung liegt, kannst Du nachschauen, ob man ihn als Linearkombination einer Basis des Bildes darstellen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Fr 26.01.2007 | | Autor: | bob86a |
Also könnte ich die Basisvektoren des Bildes als Matrix schreiben und dann den Bildvektor als Lösungsvektor nehmen und schauen, ob dieses GS lösbar ist(?)
Eine kleine Frage noch dazu: wenn ich eine Abbildungmatrix gegeben habe, dann sind doch Basisvektoren des Bildes die linear unabhängigen Vektoren die linear unabhängigen Spalten, oder nicht?
Danke schonmal :)
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> Also könnte ich die Basisvektoren des Bildes als Matrix
> schreiben und dann den Bildvektor als Lösungsvektor nehmen
> und schauen, ob dieses GS lösbar ist(?)
Hui, jetzt mußte ich mich ziemlich anstrengen um das zu verstehen. Ich glaube, es ist mir gelungen:
Du schreibst die Bilder der Basis des Ausgangsraumes als Spaltenvektoren in die Matrix A, nimmst den Vektor b, von dem Du wissen möchtest, ob er im Bild der Abbildung liegt, und löst das GS Ax=b.
> Eine kleine Frage noch dazu: wenn ich eine Abbildungmatrix
> gegeben habe, dann sind doch Basisvektoren des Bildes die
> linear unabhängigen Vektoren die linear unabhängigen
> Spalten, oder nicht?
Ja. Diejenigen der Spaltenvektoren, die linear unabhängig sind, bilden ein3e Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Sa 27.01.2007 | | Autor: | bob86a |
Also ich glaube wir meinen dasselbe: ich nehme mir einfach die linear unabhängigen Spaltenvektoren meiner Abbildungsmatrix B und "baue" mit ihnen als Spaltenvektoren eine neue Matrix A. Und wenn ich nun wissen möchte, ob ein Vektor b im Bild der Abbildung liegt, löse ich einfach das GS Ax=b... Stimmts so?
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> Also ich glaube wir meinen dasselbe: ich nehme mir einfach
> die linear unabhängigen Spaltenvektoren meiner
> Abbildungsmatrix B und "baue" mit ihnen als Spaltenvektoren
> eine neue Matrix A. Und wenn ich nun wissen möchte, ob ein
> Vektor b im Bild der Abbildung liegt, löse ich einfach das
> GS Ax=b... Stimmts so?
Hallo,
wenn Du es so vorschlägst, kommst Du auf jeden Fall zum Ziel, es ist keinesfalls verkehrt.
Du kannst es aber auch gleich mit der Matrix machen, welche möglicherweise noch abhängige Vektoren enthält.
Entweder findest Du hier heraus, daß es keine Lösung gibt. Oder es gibt mehrere Lösungen.
Der Nachteil bei meinem Vorschlag ist, daß man möglicherweise länger überlegen muß bei der Interpretation des Gleichungssystems. (Das hängt sicher von der Übung ab. Oft verursachen die GS, die nicht eindeutig zu lösen sind, etwas Wirrnis.)
Der Vorteil: man muß nicht erst eine Basis suchen.
Gruß v. Angela
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