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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 So 13.12.2015 | | Autor: | kolja21 |
| Aufgabe | | Wie stellt man ein LGS auf, bzw. löst es, wenn man zu einer Matrix einen Vektor finden muss, für den gilt v * M = v, wobei M eine n x n Matrix und v ist element [mm] R^n [/mm] ? |
Ich brauchen einen Lösungsweg, wie ich aus der Matrix
2/12x + 5/12y + 5/12z = x
5/12x + 5/12y + 2/12z = y
2/12x + 8/12y + 2/12z = x
rausbekomme. x = 6, y = 10, z = 5.
Es muss irgendwie mit der Gauß Elimination gehen. Aber ich schaffe es nicht.
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> Wie stellt man ein LGS auf, bzw. löst es, wenn man zu
> einer Matrix einen Vektor finden muss, für den gilt v * M=v
> wobei M eine n x n Matrix und v ist element [mm]R^n[/mm] ?
Hallo,
Du meinst M*v, oder multipliziert Ihr andersrum?
> Ich brauchen einen Lösungsweg, wie ich aus der Matrix
> 2/12x + 5/12y + 5/12z = x
> 5/12x + 5/12y + 2/12z = y
> 2/12x + 8/12y + 2/12z = x
Dieses LGS ist aber nicht von der Gestalt M*v=v.
Es soll sicher
2/12x + 5/12y + 5/12z = x
5/12x + 5/12y + 2/12z = y
2/12x + 8/12y + 2/12z = [mm] \red{z}
[/mm]
heißen.
>
> rausbekomme. x = 6, y = 10, z = 5.
Schauen wir mal nach. Ich verwende den Gauß-Algorithmus:
2/12x + 5/12y + 5/12z = [mm] x\qquad\qquad|\quad [/mm] -x
5/12x 5/12y + 2/12z = [mm] y\qquad\qquad|\quad [/mm] -y
2/12x + 8/12y + 2/12z = [mm] \red{z}\qquad\qquad|\quad [/mm] -z
ergibt
-10/12x + 5/12y + 5/12z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *12
5/12x - 7/12y + 2/12z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *12
2/12x + 8/12y -10/12z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *12,
ergibt
[mm] \green{-10}x [/mm] + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
5x - 7y + 2z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
2x + 8y -10z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] .
Für Gauß multipliziere jetzt so, daß unter der grünen -10 dann Zehnen stehen, damit ich anschließend addieren kann und Nullen bekommen:
[mm] \green{-10}x [/mm] + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
5x - 7y + 2z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *2
2x + 8y -10z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] *5
-->
[mm] \green{-10}x [/mm] + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
10x - 14y + 4z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 2.Zeile+1.Zeile
10x + 40y -50z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 3.Zeile+1.Zeile
-->
-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
[mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 2.Zeile+1.Zeile
+ 45y -45z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 3.Zeile+1.Zeile
Nächstes Ziel: Null unter -9y. Dazu passend dividieren, dann addieren:
-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
[mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad|
[/mm]
+ 45y -45z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] :5
-->
-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
[mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad|
[/mm]
+ 9y -9z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] 3.Zeile+2.Zeile
-->
-10x + 5y + 5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] | :-10
[mm] \green{ - 9}y [/mm] + 9z = [mm] 0\qquad\qquad|:-9
[/mm]
0= [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
-->
x -0.5y -0.5z = [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm] |
y -z = [mm] 0\qquad\qquad
[/mm]
0= [mm] 0\qquad\qquad|\quad [/mm]
Wir bekommen aus Zeile 2: y=z,
und durch Einsetzen in Zeile 1: x=0.5y +0.5z=z.
Also sind alle Lösungen v von der Gestalt [mm] v=\vektor{z\\z\\z}=z*\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
[mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Die von Dir gesuchte Lösung [mm] v=\vektor{6\\10\\5} [/mm] ist keine Lösung von
[mm] \pmat{2/12& 5/12& 5/12 \\ 5/12& 5/12&2/12 \\ 2/12&8/12&2/12}*v=v [/mm]
<==>
[mm] \pmat{2/12-1& 5/12& 5/12\\5/12& 5/12-1&2/12\\2/12&8/12&2/12-1}*v=0,
[/mm]
was Du auch merkst, wenn Du die Probe machst.
LG Angela
> Es muss irgendwie mit der Gauß Elimination gehen. Aber
> ich schaffe es nicht.
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