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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Vektoren, Beträge, Orthogonal.
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Vektoren, Beträge, Orthogonal.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Di 20.11.2007
Autor: timako

Aufgabe
Seien [mm] \vec{x}, \vec{y} \in \IR^{n}. [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] |\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}| [/mm] = [mm] |\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y}| \gdw \vec{x} \perp \vec{y} [/mm]
b) [mm] |\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}|^{2} [/mm] + [mm] |\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y}|^{2} [/mm] = [mm] 2|\vec{x}|^{2} [/mm] + [mm] 2|\vec{y}|^{2} [/mm]
c) [mm] 4\vec{x}\vec{y} [/mm] = [mm] |\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}|^{2} [/mm] - [mm] |\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y}|^{2} [/mm]

zu a) Die linke Seite der Äquivalenz: In Kompononentenschreibweise, dann Auflösen der Beträge, dann Auflösen der Binome -> ich erhalte zwei Wurzelausdrücke, die sich um den Faktor [mm] +2x_{1}y_{1} [/mm] usw. bzw. [mm] -2x_{1}y_{1} [/mm] usw. unterscheiden. Kann ich jetzt die Bedingung der Orthogonalität [mm] x_{1}*y_{1} [/mm] = 0 usw. benutzen, dann ist ja die Differenz der Wurzelausdrücke gleich Null?
Bin mir über die formal richtige Vorgehensweise hier nicht klar, vielen Dank im Voraus.

Gruß,
Timm

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Edit:
Aufgabenstellung a) korrigiert.

        
Bezug
Vektoren, Beträge, Orthogonal.: da fehlt was ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Di 20.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Timm!


Da fehlt doch noch etwas an der Aufgabenstellung bei a.), oder?


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Vektoren, Beträge, Orthogonal.: Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Di 20.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Timm!


Ich vermute mal, Du sollst bei der 1. Aufgabe folgendes zeigen:
[mm] $$\left|\vec{x}+\vec{y}\right|-\left|\vec{x} -\vec{y}\right| [/mm] \ [mm] \red{= \ 0} [/mm] \ \  [mm] \gdw [/mm] \ \  [mm] \vec{x} \perp \vec{y}$$ [/mm]

Wenn Du von links nach rechts vorgehst, solltest Du irgendwann erhalten:
[mm] $$4*x_1*y_1+4*x_2*y_2+...+4*x_n*y_n [/mm] \ = \ 0$$
Wenn Du nun $4_$ ausklammerst und durch $4_$ teilst, verbleibt ja nur noch das ausgeschriebene MBSkalarprodukt für [mm] $\vec{x}*\vec{y}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Vektoren, Beträge, Orthogonal.: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Di 20.11.2007
Autor: timako

Sry für den Fehler, bei a) heißt es (habe im pdf nachgeschaut, mein dämlicher drucker hat mir doch tatsächlich ein = als - ausgedruckt!):

[mm] |\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}| [/mm] = [mm] |\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y}| \gdw \vec{x} \perp \vec{y} [/mm]

Gruß,
Timm

P.S. Dann ist mir auch einiges klarer ;)

Bezug
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