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Vektorraum 2 x 2 Matrix: Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:44 So 09/07/2017
Author: kntr91

Aufgabe
f: [mm] \IR\ [/mm] 2 x 2 [mm] \to \IR [/mm]  
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }| [/mm] a + d [mm] \in \IR [/mm]

[mm] \{\pmat{ a & b \\ c & d }|a , b, c , d \in \IR \} [/mm]

a) Ist das eine Lineare Abbildung ?
b) Berechnen Sie das Bild (f)
c) Berechnen Sie den Kern (f).


Könnte mir jemand einen Tipp geben , wie ich an diese Aufgaben herangehe ?


a) Für eine Lineare abbildung gilt : Additiv und Homogen ,aber wie zeige ich es bei dem Beispiel mit einer 2 x 2 Matrix ?
Zur b) Mein Bild bildet auf die Einheitsbasis [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 } [/mm] ab ,aber wie berechne ich das Bild ?
Zur c) Mein Kern berechnet sich ja aus a = -d aber ich weiss icht wie ich bei der Aufgabe anwenden soll ?
Für jede Hilfe bin ich dankbar :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vektorraum 2 x 2 Matrix: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:11 So 09/07/2017
Author: angela.h.b.


> f: [mm]\IR\[/mm] 2 x 2 [mm]\to \IR[/mm]  
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }|[/mm] a + d [mm]\in \IR[/mm]
>  
> [mm]\{\pmat{ a & b \\ c & d }|a , b, c , d \in \IR \}[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

Zunächst sollten wir mal klären, um welche Abbildung es geht.
Ist es so gedacht:

f: [mm] \IR^{2 x 2}\to \IR [/mm]
mit
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto [/mm] a + d


>  
> a) Ist das eine Lineare Abbildung ?

Auf jeden Fall es es eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen,
nämlich dem Raun der [mm] 2\times2-Matrizen [/mm] über [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR, [/mm] betrachtet als Vektorraum über [mm] \IR, [/mm]
und Du sagst richtig, daß man die Additivität und die Homogenität prüfen muß.

Additivität:
Hier ist zu prüfen, ob der Funktionswert der Summe gleich der Summe der Funktionswerte  ist,
ob also

[mm] f(\pmat{ a & b \\ c & d }+\pmat{ a' & b' \\ c' & d' })=f(\pmat{ a & b \\ c & d })+f(\pmat{ a' & b' \\ c' & d' }). [/mm]

Bei der Homogenität prüfe, ob

[mm] f(r*\pmat{ a & b \\ c & d })=r*f(\pmat{ a & b \\ c & d }). [/mm]


>  b) Berechnen Sie das Bild (f)

Bild(f) ist in der Tat der Raum, der von den Bildern einer Basis aufgespannt wird.
Eine Basis ist [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 }. [/mm]

Wir berechnen die Bilder:

[mm] f(\pmat{ \red{1} & 0 \\ 0 &\red{0} })=1+0=1 [/mm] ,
[mm] f(\pmat{ \red{0} & 1 \\ 0 & \red{0}})=0+0=0, [/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 })=0+0=0 [/mm] ,
[mm] f(\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 })=0+1=1. [/mm]

[mm] Bild(f)=<1,0,0,1>=\{a*1+b*0+c*0+d*1| a,b,c,d\in\IR\}=\IR [/mm]

Man hätte hier auch anders argumentieren können, z.B. über die Dimension.

>  c) Berechnen Sie den Kern (f).

Hier mußt Du herausfinden, wie die Matrizen gemacht sind, die vermöge f auf die Null (in [mm] \IR) [/mm] abgebildet werden, für welche Matrizen [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] also gilt: [mm] f(\pmat{ a & b \\ c & d })=0. [/mm]

[mm] f(\pmat{ a & b \\ c & d })=0 [/mm]
<==> a+d=0
<==> a=-d (<==> -a=d)

Das hattest Du auch schon herausgefunden.

Die Matrizen, die auf die 0 abgebildet werden, haben also diese Gestalt:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & -a }. [/mm]

Also ist

[mm] kern(f)=\{\pmat{ a & b \\ c & -a }|a,b,c\in \IR\}, [/mm]
oder mitilfe einer Basis des Kerns geschrieben:

[mm] kern(f)=<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }> [/mm]

LG Angela


>  Könnte mir jemand einen Tipp geben , wie ich an diese
> Aufgaben herangehe ?
>  a) Für eine Lineare abbildung gilt : Additiv und Homogen
> ,aber wie zeige ich es bei dem Beispiel mit einer 2 x 2
> Matrix ?
>  Zur b) Mein Bild bildet auf die Einheitsbasis [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 }[/mm]
> ab ,aber wie berechne ich das Bild ?
>  Zur c) Mein Kern berechnet sich ja aus a = -d aber ich
> weiss icht wie ich bei der Aufgabe anwenden soll ?
>  Für jede Hilfe bin ich dankbar :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Vektorraum 2 x 2 Matrix: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:15 Mo 10/07/2017
Author: fred97

Eine Bemerkung:

ist V ein K-Vektorraum und $f:V [mm] \to [/mm] K$ linear und ist f nicht die Nullabbildung, so ist Bild(f)=K.

Bezug
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