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Verbindung zweier Geraden: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 19.05.2016
Autor: Franhu

Aufgabe
Es sei A = [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ 2}, [/mm] B = [mm] \vektor{2 \\ 7 \\ 9}, [/mm] C = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 0}, [/mm] D = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 4}. [/mm] Es gibt eine Strecke, deren Endpunkte auf den Geraden AB und CD liegen und die durch den Punkt P = [mm] \vektor{-3 \\ 5 \\ 8} [/mm] geht. Welches sind ihre Endpunkte und wie lang ist sie?


Hallo Zusammen

Ich krieg bei diesen Aufgaben einfach den Lösungsansatz nicht hin. Was ich bis jetzt weiss. Die beiden Geraden sind windschief.

für AB habe ich die Geradengleichung g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

für CD habe ich die Geradengleichung h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] \delta \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm]

Irgendwie muss ich jetzt eine weitere Gerade konstruieren welche als Startpunkt einen Punkt auf g hat und der Richtungsvektor aus diesem Punkt  und P berechnen. Diese Gerade muss einen Punkt auf der Geraden h haben.

Oder kann ich mit den Normalenvektor von g, welcher durch Punkt p geht ausrechnen ond dann dieser Vektor solange verschieben bis er sich mit h schneidet? Ist sowas überhaupt möglich?

Besten Dank für eure supper Unterstützung!
Franhu

        
Bezug
Verbindung zweier Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Do 19.05.2016
Autor: angela.h.b.


> Es sei A = [mm]\vektor{-5 \\ 0 \\ 2},[/mm] B = [mm]\vektor{2 \\ 7 \\ 9},[/mm]
> C = [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 0},[/mm] D = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 4}.[/mm] Es gibt
> eine Strecke, deren Endpunkte auf den Geraden AB und CD
> liegen und die durch den Punkt P = [mm]\vektor{-3 \\ 5 \\ 8}[/mm]
> geht. Welches sind ihre Endpunkte und wie lang ist sie?
>  Hallo Zusammen
>  
> Ich krieg bei diesen Aufgaben einfach den Lösungsansatz
> nicht hin. Was ich bis jetzt weiss. Die beiden Geraden sind
> windschief.
>  
> für AB habe ich die Geradengleichung g: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{-5 \\ 0 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]

> für CD habe ich die Geradengleichung h: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 0}[/mm] + [mm]\delta \vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]

Überlegen wir, was die Geradengleichungen uns sagen: sie sagen uns, wie die Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen, gemacht sind.

Sei R ein Punkt auf g, er hat dann die Koordinaten [mm] R(-5+\lambda| \lambda [/mm] | [mm] 2+\lambda) [/mm] für ein festes [mm] \lambda. [/mm]
Sei S ein Punkt auf h, er hat dann die Koordinaten [mm] S(2+2\delta| 4-2\delta [/mm] | [mm] 2\delta) [/mm] für ein festes [mm] \delta. [/mm]

Man könnte jetzt die Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte aufstellen (da brauchen wir wieder einen Parameter, etwa [mm] \mu), [/mm] und dann könnte man sich überlegen, wie [mm] \lambda, \delta, \mu [/mm] sein müssen, damit P draufliegt.

So richtig elegant ist diese Lösung nicht...

>  
> Irgendwie muss ich jetzt eine weitere Gerade konstruieren
> welche als Startpunkt einen Punkt auf g hat und der
> Richtungsvektor aus diesem Punkt  und P berechnen. Diese
> Gerade muss einen Punkt auf der Geraden h haben.

Ja, das wäre so ähnlich wie das, was ich oben machen möchte.

Oder man nimmt R und S wie oben und überlegt sich, daß
[mm] \overrightarrow{RP}=k*\overrightarrow{SP} [/mm] sein muß.
Damit bin ich eben gut zum Ziel gekommen.

LG Angela



>
> Oder kann ich mit den Normalenvektor von g, welcher durch
> Punkt p geht ausrechnen ond dann dieser Vektor solange
> verschieben bis er sich mit h schneidet? Ist sowas
> überhaupt möglich?
>  
> Besten Dank für eure supper Unterstützung!
>  Franhu


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