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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Vergleich Poissonparameter
Vergleich Poissonparameter < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Vergleich Poissonparameter: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Fr 21.04.2006
Autor: bubble

Aufgabe
Y1  [mm] \sim [/mm] Po( [mm] \lambda1) [/mm]
Y2  [mm] \sim [/mm] Po( [mm] \lambda2) [/mm]

Zeigen Sie, dass die bedingte Verteilung von Y1, gegeben, dass Y1 + Y2=s, eine Binominalverteilung ist mit Parametern s und p:= [mm] \lambda1/(\lambda1+\lambda2). [/mm] Das heisst:

P(Y1=k | Y1 + Y2=s)=  [mm] \vektor{s \\ k} p^k(1-p)^{s-k} [/mm]  für k= 0,...,s.

Hallo zusammen,
ich muss diese Aufgabe bis am Montag abgeben und weiss überhaupt nicht, was ich machen muss. Hat jemand eine Ahnung, was ich hier machen muss?


Ich habe diese Frage in keinem anderen forum gestellt

        
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Fr 21.04.2006
Autor: Walde

Hi bubble,

hier mal ein paar Hinweise, dann schaffst du es bestimmt selbst:

Ich nehme an du weisst wie die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung errechnet werden:

Falls [mm] X\sim [/mm] Po [mm] (\lambda), [/mm] dann
[mm] P(X=k)=\bruch{(\lambda)^k}{k!}*e^{-\lambda} [/mm]

Für die Summe zweier unabhängiger Po-Vert. ZV:

[mm] Y_1+Y_2\sim [/mm] Po [mm] (\lambda_1+\lambda_2) [/mm]


Ich nenne mal Ereignis
A: [mm] Y_1=k [/mm]
B: [mm] Y_1+Y_2=s [/mm]

Es gilt:
[mm] P(Y_1=k|Y_1+Y_2=s)=P(A|B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)} [/mm]

Ausserdem:
[mm] P(B|A)=\bruch{P(A\cap B)}{P(A)} [/mm]

also
[mm] P(Y_1=k|Y_1+Y_2=s)=\bruch{P(A)}{P(B)}*P(B|A) [/mm]

und [mm] P(B|A)=P(Y_2=s-k) [/mm]

Jetzt musst du nur noch alle Wahrscheinlichkeiten einsetzen und rumrechnen, bis es da steht. Ich habs auf Papier gemacht, es geht.


L G walde

Bezug
                
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Fr 21.04.2006
Autor: bubble

Danke, ich habe noch eine Frage: Wie rechne ich P(Y2=s-k) aus? Ich kann ja nicht einfach die Wahrscheinlichkeit von s - die Wahrscheinlichkeit von k ausrechen, oder doch?

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Bezug
Vergleich Poissonparameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Fr 21.04.2006
Autor: Walde

Hi bubble,

nein das geht nicht, ist aber viel einfacher:

[mm] P(Y_2=s-k)=\bruch{\lambda_2^{(s-k)}}{(s-k)!}*e^{-\lambda_2} [/mm]

L G walde

Bezug
                                
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Fr 21.04.2006
Autor: bubble

Danke, dann werde ich es mal weiterversuchen.

Schönes Wochenende

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Bezug
Vergleich Poissonparameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mo 24.04.2006
Autor: bubble

Hallo zusammen,
hat jemand eine Ahnung, wie man die Konfidenzschranken für [mm] \lambda_{1}/\lambda_{2} [/mm] berechnen könnte?



Bezug
                
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Di 25.04.2006
Autor: Walde

Hi Bubble,

also spontan fälltmir nix ein, habt ihr denn keine weiteren Hinweise gegeben? Weisst du, wie diese Grösse verteilt ist? Habt ihr einen Schätzer dafür angegen?

l G walde

Bezug
                        
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Di 25.04.2006
Autor: bubble

Nein, es sind keine Schätzer gegeben und auch keine anderen Hinweise. Ich weiss, dass man die Schranken einer Binominalverteilung mit der Wilson-Methode berechnen kann. Hilft mir aber nicht weiter.

Bezug
                
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Di 25.04.2006
Autor: Walde

Hi bubble,

also folgende Idee:

du hast ja im vorhergehenden Aufgabenteil rausgefunden, dass
[mm] p:=\bruch{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}=\bruch{1}{1+\bruch{\lambda_2}{\lambda_1}} [/mm] dem p in einer Binomialverteilung entspricht, nämlich bei [mm] P(Y_1=k|Y_1+Y_2=s). [/mm] Ermittle also einen Konfidenzbereich für dieses p und löse dann nach dem Gewünschten auf.

L G walde

Bezug
                        
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Di 25.04.2006
Autor: bubble

Ich danke dir. Ich habe es versucht, weiss jedoch nicht, ob es richtig ist. Mal schauen, wenn die Korrektur zurückkommt.

Bezug
        
Bezug
Vergleich Poissonparameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Mo 24.04.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Y1  [mm]\sim[/mm] Po( [mm]\lambda1)[/mm]
>  Y2  [mm]\sim[/mm] Po( [mm]\lambda2)[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass die bedingte Verteilung von Y1, gegeben,
> dass Y1 + Y2=s, eine Binominalverteilung ist mit Parametern
> s und p:= [mm]\lambda1/(\lambda1+\lambda2).[/mm] Das heisst:

VORSICHT: Du hast vergessen dazuzuschreiben, dass [mm] $Y_1$ [/mm] und [mm] $Y_2$ [/mm] stochastisch unabhaengig sein sollen! Ansonsten klappt das ganze nicht! (Insbesondere nicht das was Walde ueber die Summe zweier Poisson-ZVen geschrieben hat, dazu braucht man die Unabhaengigkeit...)

LG Felix


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Vergleich Poissonparameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Mo 24.04.2006
Autor: bubble

Ja, du hast Recht. In der Aufgabe steht auch geschrieben, dass Y1 und Y2 unabhaengig sind. Wir hatten bisher in der Vorlesung nur die Konfidenzschranken von Binominalverteilungen ausgerechnet. Nun weiss ich nicht, ob dies auch fuer diese Aufgabe geht.

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