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Vertauschung integral und lim.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Do 30.10.2014
Autor: Peter_123

Für jede Folge [mm] (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} [/mm] stetiger Fkt. [mm] f_{n}:[0,1] \to [/mm] [0,1] die punktweise gegen 0 konvergieren, gilt [mm] \limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}f_n(x) [/mm] dx= 0

1) Zeige diese Aussage
2) Versuche diese Aussage ohne Verwendung von Sätzen aus der Maßtheorie zu zeigen ( also nur unter Zugrundelegung des Riemann Integralbegriffs)

Halo,

Also ich dachte für 1) genūgt mir doch die punktweise Konvergenz und eine Intbare. Majorante für den Satz von Lebesque um Integral und Grenzwert vertauschen zu können - die Punktweise konvergenz ist der Angabe zu entnehmen und als intbare Majorante könnte man zb die Konstante 1 Fkt nehmen ?

Für den zweiten Teil fehlt mir aber prinzipiell die Idee -dazu müsste ich irgendwie eine Zerlegungsfolge von [0,1] wählen, deren Feinheit nach 0 geht ?


Danke für jede Hilfe

Lg Peter

        
Bezug
Vertauschung integral und lim.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Do 30.10.2014
Autor: fred97


> Für jede Folge [mm](f_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] stetiger Fkt.
> [mm]f_{n}:[0,1] \to[/mm] [0,1] die punktweise gegen 0 konvergieren,
> gilt [mm]\limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}f_n(x)[/mm] dx= 0
>  
> 1) Zeige diese Aussage
> 2) Versuche diese Aussage ohne Verwendung von Sätzen aus
> der Maßtheorie zu zeigen ( also nur unter Zugrundelegung
> des Riemann Integralbegriffs)
>
> Halo,
>  
> Also ich dachte für 1) genūgt mir doch die punktweise
> Konvergenz und eine Intbare. Majorante für den Satz von
> Lebesque um Integral und Grenzwert vertauschen zu können -
> die Punktweise konvergenz ist der Angabe zu entnehmen und
> als intbare Majorante könnte man zb die Konstante 1 Fkt
> nehmen ?

Ja, so ist das.


>
> Für den zweiten Teil fehlt mir aber prinzipiell die Idee
> -dazu müsste ich irgendwie eine Zerlegungsfolge von [0,1]
> wählen, deren Feinheit nach 0 geht ?

Ja, wähle  als Zerlegung die äquidistante [mm] Z_m [/mm] von [0,1] mit m+1 Teilpunkten.

FRED

>
>
> Danke für jede Hilfe
>
> Lg Peter  


Bezug
                
Bezug
Vertauschung integral und lim.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Do 30.10.2014
Autor: Peter_123

Hallo Fred,

Danke für deine Antwort.

Also durch die Beschränktheit der [mm] f_{n} [/mm] und die Stetigkeit weiß ich prinzipiell das Riemann-Integrierbarkeit vorliegt.

[mm] Z_{m} [/mm] sei also die äquidistante Zerlegung von [0,1] mit m+1 Stützstellen , aber welche Belegungsfolge wähle ich denn ?

Ich müsste ja irgendwie sowas basteln : F(m):= [mm] R(f_{m}, Z_{m}, B_{m}) [/mm] , wobei R für die Riemannsumme steht.
Aus der R intbarkeit der [mm] f_{m} [/mm] folgt dann sozusagen
[mm] \limes_{m \to \infty} [/mm] F(m) = [mm] \integral_{0}^{1} f_{m}(x)dx [/mm]
?


Lg Peter

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Vertauschung integral und lim.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Do 30.10.2014
Autor: leduart

Hallo
Schreib doch mal erst die Riemannsumme mit den m+1  Punkten hin.
f dann schätze die ab, dann lim
Gruß leduart

Bezug
                                
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Vertauschung integral und lim.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:54 So 02.11.2014
Autor: Peter_123


> Hallo
> Schreib doch mal erst die Riemannsumme mit den m+1  Punkten
> hin.
>  f dann schätze die ab, dann lim
>  Gruß leduart

also gut

0 = [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] < ... < [mm] x_{m} [/mm] < [mm] x_{m+1} [/mm] = 1

[mm] \zeta_{i} \in [x_{i},x_{i+1}] [/mm] , i =1,...,m

[mm] R_{m} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{m}(x_{i+1}-x_{i})f(\zeta_{i}) [/mm]

das wäre dann die entsprechende Riemann-summe.

Aber wie soll ich die denn abschätzen?

also zb: [mm] [0,\frac{1}{n}],[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]....,[\frac{n-1}{n},1] [/mm]
das wäre eine äquidistante Zerlegung deren Feinheit gegen 0 strebt für n [mm] \to \infty. [/mm]


Lg Peter



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Vertauschung integral und lim.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Di 04.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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Vertauschung integral und lim.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:22 So 02.11.2014
Autor: Peter_123

Funktioniert dies überhaupt, wenn ich nur den R-Integralbegriff zur Hand habe?


Lg Peter

Bezug
                
Bezug
Vertauschung integral und lim.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 04.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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