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Hallo,
ich versuche für ein Modulationsverfahren eine Optimierung durchzuführen. Dabei handelt es sich um folgendes Signal:
$s(t) = A [mm] \* [/mm] cos(2 [mm] \pi [/mm] t / [mm] T_{c}) [/mm] $ , wobei t > 0 und als gleichverteilt angenommen wird.
Ich suche nun die Verteilung dieser Cosinusfunktion. Ich habe schon gedacht, dass man die Periodizität auflösen muss und t daher auf [mm] $[-\pi,\pi [/mm] ]$ begrenzen muss. Habt ihr eine Idee?
Danke,
T.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich versuche für ein Modulationsverfahren eine Optimierung
> durchzuführen. Dabei handelt es sich um folgendes Signal:
> [mm]s(t) = A \* cos(2 \pi t / T_{c})[/mm] , wobei t > 0 und als
> gleichverteilt angenommen wird.
> Ich suche nun die Verteilung dieser Cosinusfunktion. Ich
> habe schon gedacht, dass man die Periodizität auflösen
> muss und t daher auf [mm][-\pi,\pi ][/mm] begrenzen muss. Habt ihr
> eine Idee?
>
> Danke,
> T.
Guten Abend und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich versuche, die Fragestellung richtig zu verstehen,
bin aber nicht sicher, ob ich das schon geschafft habe.
Darum formuliere ich mal selber:
Es liegt eine Eingangsvariable t vor, welche auf einem
gewissen (geeigneten) Intervall positiver t-Werte
gleichverteilt sein soll.
Nun wird für solche t-Werte jeweils der Wert s(t)
berechnet, und gefragt ist die statistische Verteilungs-
funktion der so entstehenden Funktionswerte.
Dabei spielt die Forderung, dass diese t-Werte positiv
sein sollen, allerdings wohl gar keine Rolle. Wichtig
ist aber vermutlich, dass das Intervall, über dem man
die Gleichverteilung betrachtet, aus einem ganzzahligen
Vielfachen von [mm] T_c [/mm] (Periodenlänge für die Variable t)
besteht. In diesem Fall kann man sich dann für die
Berechnung der Verteilungsfunktion von s(t) auf
ein Grundintervall der Länge [mm] T_c [/mm] beschränken.
Habe ich das richtig interpretiert ?
So würde ich also das t im Intervall von t=0 bis [mm] t=T_c
[/mm]
laufen lassen. Das Argument x der Cosinusfunktion,
also
$\ x\ =\ [mm] 2\, \pi\, *\,\frac{t}{T_{c}}$
[/mm]
bewegt sich damit von $\ x\ =\ 0$ bis $\ x\ =\ [mm] 2\,\pi$ [/mm] .
Wegen der Symmetrie des resultierenden Kurvenstücks
kann man sich offensichtlich sogar auf die Betrachtung
des Intervalls von x=0 bis zu [mm] x=\pi [/mm] beschränken, über
welchem die s-Werte genau einmal den Abstieg vom
Maximalwert $\ [mm] s_{max}\ [/mm] =\ A$ bis zu $\ [mm] s_{min}\ [/mm] =\ -A$ vollführen.
Dabei ist die Variable x (ebenso wie t) gleichverteilt.
Die eigentliche Berechnung der Verteilung möchte
ich aber nicht gleich schon mitliefern. Vielleicht
hast du dazu ja doch auch eigene Überlegungen ?
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 17.02.2015 | | Autor: | Ernte1893 |
Hallo Al-Chwarizmi,
nun, herzlichen Dank für deine Anregung(en). Es hat tatsächlich geholfen:
Ich habe die kumulative Verteilungsfunktion [mm] $F_x$ [/mm] und [mm] $F_y$ [/mm] also mit den Grenzwerten:
[mm] $F_x(0) [/mm] = 0 = [mm] F_y(A)$ [/mm] und [mm] $F_x(T_c/2) [/mm] = 0 = [mm] F_y(-A)$ [/mm] wodurch ich durch die Gleichverteilung der Variablen t (also X) zu folgendem Ergebnis komme:
[mm] $F_x(X) [/mm] = x * 2/T$
Also eigentlich nur eine lineare Funktion aufgrund der Gleichverteilung.
Für [mm] $F_y$ [/mm] folgt:
[mm] $F_Y(y) [/mm] = P(Y [mm] \le [/mm] y)
= P(X [mm] \le arccos(Y/A)T_c/2\pi)
[/mm]
= 1 - [mm] F_X(arccos(Y/A)T_c/2\pi)
[/mm]
= 1 - [mm] \frac{1}{pi}(arccos(y/A))$
[/mm]
Dadurch ergibt sich
[mm] $f_Y(y) [/mm] = [mm] \frac{A}{\pi \sqrt{A^2 - y^2}}$
[/mm]
Eine Frage bleibt aber: Wieso ist das Ergebnis negativ, wenn ich beispielsweise das Intervall von -T/2 bis 0 nehme anstelle von 0 bis T/2? Also gibt es Regeln, dass für die Aufteilung?
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> nun, herzlichen Dank für deine Anregung(en). Es hat
> tatsächlich geholfen:
> Ich habe die kumulative Verteilungsfunktion [mm]F_x[/mm] und [mm]F_y[/mm]
> also mit den Grenzwerten:
> [mm]F_x(0) = 0 = F_y(A)[/mm] und [mm]F_x(T_c/2) = 0 = F_y(-A)[/mm] wodurch
> ich durch die Gleichverteilung der Variablen t (also X) zu
> folgendem Ergebnis komme:
> [mm]F_x(X) = x * 2/T[/mm]
> Also eigentlich nur eine lineare
> Funktion aufgrund der Gleichverteilung.
> Für [mm]F_y[/mm] folgt:
> [mm]$F_Y(y)[/mm] = P(Y [mm]\le[/mm] y) (***)
> = P(X [mm]\le arccos(Y/A)T_c/2\pi)[/mm]
> = 1 -
> [mm]F_X(arccos(Y/A)T_c/2\pi)[/mm]
> = 1 - [mm]\frac{1}{pi}(arccos(y/A))$[/mm]
>
> Dadurch ergibt sich
> [mm]f_Y(y) = \frac{A}{\pi \sqrt{A^2 - y^2}}[/mm]
>
> Eine Frage bleibt aber: Wieso ist das Ergebnis negativ,
> wenn ich beispielsweise das Intervall von -T/2 bis 0 nehme
> anstelle von 0 bis T/2? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich glaube, da irrst du dich !
Je nachdem, ob die Funktion über dem betrachteten Intervall
monoton steigend oder fallend ist, dreht sich die Richtung
der Ungleichung beim Umformen ebenfalls um, und zwar
an der oben mit " (***) " markierten Stelle !
LG , Al-Chwarizmi
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> > Hallo Al-Chwarizmi,
> >
> > nun, herzlichen Dank für deine Anregung(en). Es hat
> > tatsächlich geholfen:
> > Ich habe die kumulative Verteilungsfunktion [mm]F_x[/mm] und [mm]F_y[/mm]
> > also mit den Grenzwerten:
> > [mm]F_x(0) = 0 = F_y(A)[/mm] und [mm]F_x(T_c/2) = 0 = F_y(-A)[/mm] wodurch
> > ich durch die Gleichverteilung der Variablen t (also X) zu
> > folgendem Ergebnis komme:
> > [mm]F_x(X) = x * 2/T[/mm]
> > Also eigentlich nur eine lineare
> > Funktion aufgrund der Gleichverteilung.
> > Für [mm]F_y[/mm] folgt:
> > [mm]$F_Y(y)[/mm] = P(Y [mm]\le[/mm] y) (***)
> > = P(X [mm]\le arccos(Y/A)T_c/2\pi)[/mm]
> > = 1 -
> > [mm]F_X(arccos(Y/A)T_c/2\pi)[/mm]
> > = 1 - [mm]\frac{1}{pi}(arccos(y/A))$[/mm]
> >
> > Dadurch ergibt sich
> > [mm]f_Y(y) = \frac{A}{\pi \sqrt{A^2 - y^2}}[/mm]
> >
> > Eine Frage bleibt aber: Wieso ist das Ergebnis negativ,
> > wenn ich beispielsweise das Intervall von -T/2 bis 0 nehme
> > anstelle von 0 bis T/2?
>
> Ich glaube, da irrst du dich !
> Je nachdem, ob die Funktion über dem betrachteten
> Intervall
> monoton steigend oder fallend ist, dreht sich die
> Richtung
> der Ungleichung beim Umformen ebenfalls um, und zwar
> an der oben mit " (***) " markierten Stelle !
>
> LG , Al-Chwarizmi
Okay, danke schonmal.
Das komische ist, das die ("falsche") Verteilungsfunktion mit der Messung
übereinstimmt. Es sollte also zusätzlich noch ein Vorzeichenfehler
vorhanden sein?!
Zu dem monoton fallenden / steigenden Intervall: Es macht Sinn meiner
Meinung nach, aber ich komm nicht drauf, es mathematisch zu erklären.
Grüße,
T.
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> Das komische ist, das die ("falsche") Verteilungsfunktion
> mit der Messung
> übereinstimmt. Es sollte also zusätzlich noch ein
> Vorzeichenfehler
> vorhanden sein?!
> Zu dem monoton fallenden / steigenden Intervall: Es macht
> Sinn meiner
> Meinung nach, aber ich komm nicht drauf, es mathematisch zu
> erklären.
>
> Grüße,
> T.
Hallo T.
ich zeige mal meine Rechnung vor:
Ich habe $ \ x\ :=\ [mm] 2\, \pi\, \cdot{}\,\frac{t}{T_{c}} [/mm] $ gesetzt.
Damit gilt dann auch $\ s(t)\ =\ y\ =\ A*cos(x)$ und $\ x\ =\ [mm] arccos\left(\frac{y}{A}\right)$
[/mm]
Nun betrachte ich für die x-Werte das Grundintervall [mm] 0\le{x}\le\pi [/mm] ,
über dem ja die x-Werte gleichverteilt sein sollen und
über welchem die Cosinusfunktion fallend ist.
Um nun zur (kumulierten) Verteilungsfunktion F für die
y-Werte zu kommen, betrachten wir:
$\ F(y)\ =\ [mm] P(\eta \le [/mm] y)\ =\ [mm] P(-A\le \eta \le y\le [/mm] +A)\ =\ [mm] P(0\le x\le \xi \le \pi)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \frac{\pi-x}{\pi}\ [/mm] =\ [mm] 1-\frac{x}{\pi}\ [/mm] =\ [mm] 1-\frac{1}{\pi}*arccos\left(\frac{y}{A}\right)$ [/mm]
Für die zugehörige Dichtefunktion f = F' haben wir dann:
$\ f(y)\ =\ [mm] \frac{\partial}{\partial y}\,F(y)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\pi\,\sqrt{A^2-y^2}}$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Ernte1893 |
Dankeschön, Al-Chwarizmi.
Ich werde nochmal über das Vorzeichen nachdenken, aber
die Lösung sieht zudem übersichtlicher aus :)
Danke nochmal & schönen Tag
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> Hallo T.
>
> ich zeige mal meine Rechnung vor:
>
> Ich habe [mm]\ x\ :=\ 2\, \pi\, \cdot{}\,\frac{t}{T_{c}}[/mm]
> gesetzt.
>
> Damit gilt dann auch [mm]\ s(t)\ =\ y\ =\ A*cos(x)[/mm] und [mm]\ x\ =\ arccos\left(\frac{y}{A}\right)[/mm]
>
> Nun betrachte ich für die x-Werte das Grundintervall
> [mm]0\le{x}\le\pi[/mm] ,
> über dem ja die x-Werte gleichverteilt sein sollen und
> über welchem die Cosinusfunktion fallend ist.
>
> Um nun zur (kumulierten) Verteilungsfunktion F für die
> y-Werte zu kommen, betrachten wir:
>
> [mm]\ F(y)\ =\ P(\eta \le y)\ =\ P(-A\le \eta \le y\le +A)\ =\ P(0\le x\le \xi \le \pi)[/mm]
>
> [mm]\ =\ \frac{\pi-x}{\pi}\ =\ 1-\frac{x}{\pi}\ =\ 1-\frac{1}{\pi}*arccos\left(\frac{y}{A}\right)[/mm]
>
>
> Für die zugehörige Dichtefunktion f = F' haben wir
> dann:
>
> [mm]\ f(y)\ =\ \frac{\partial}{\partial y}\,F(y)\ =\ \frac{1}{\pi\,\sqrt{A^2-y^2}}[/mm]
>
> LG , Al-Chwarizmi
Hallo Al-Chwarizmi,
es sind doch noch Fragen und Anregen aufgekommen. Wie kommst du denn von
> [mm]\ P(0\le x\le \xi \le \pi)[/mm] 1.)
auf
> [mm]\ \frac{\pi-x}{\pi}\ [/mm] ?
Ist es hierbei nicht :
[mm]\ P(-A\le \eta \le y\le +A)\ =\ 1 - P(0\le x\le \xi \le \pi) = 1 - \integral_{0}^{x}{\frac{1}{\pi} dx} =\ 1 - \frac{x}{\pi}[/mm] ??
Also für mich sind die Integralgrenzen bei 1.) nicht klar bzw. wie du von dort auf den Bruch kommst?
Grüße,
T.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mi 18.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo T.
> >
> > ich zeige mal meine Rechnung vor:
> >
> > Ich habe [mm]\ x\ :=\ 2\, \pi\, \cdot{}\,\frac{t}{T_{c}}[/mm]
> > gesetzt.
> >
> > Damit gilt dann auch [mm]\ s(t)\ =\ y\ =\ A*cos(x)[/mm] und [mm]\ x\ =\ arccos\left(\frac{y}{A}\right)[/mm]
>
> >
> > Nun betrachte ich für die x-Werte das Grundintervall
> > [mm]0\le{x}\le\pi[/mm] ,
> > über dem ja die x-Werte gleichverteilt sein sollen
> und
> > über welchem die Cosinusfunktion fallend ist.
> >
> > Um nun zur (kumulierten) Verteilungsfunktion F für die
> > y-Werte zu kommen, betrachten wir:
> >
> > [mm]\ F(y)\ =\ P(\eta \le y)\ =\ P(-A\le \eta \le y\le +A)\ =\ P(0\le x\le \xi \le \pi)[/mm]
>
> >
> > [mm]\ =\ \frac{\pi-x}{\pi}\ =\ 1-\frac{x}{\pi}\ =\ 1-\frac{1}{\pi}*arccos\left(\frac{y}{A}\right)[/mm]
> >
> >
> > Für die zugehörige Dichtefunktion f = F' haben wir
> > dann:
> >
> > [mm]\ f(y)\ =\ \frac{\partial}{\partial y}\,F(y)\ =\ \frac{1}{\pi\,\sqrt{A^2-y^2}}[/mm]
>
> >
> > LG , Al-Chwarizmi
>
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> es sind doch noch Fragen und Anregen aufgekommen. Wie
> kommst du denn von
> > [mm]\ P(0\le x\le \xi \le \pi)[/mm] 1.)
> auf
> > [mm]\ \frac{\pi-x}{\pi}\[/mm] ?
> Ist es hierbei nicht :
> [mm]\ P(-A\le \eta \le y\le +A)\ =\ 1 - P(0\le x\le \xi \le \pi) = 1 - \integral_{0}^{x}{\frac{1}{\pi} dx} =\ 1 - \frac{x}{\pi}[/mm]
> ??
>
> Also für mich sind die Integralgrenzen bei 1.) nicht klar
> bzw. wie du von dort auf den Bruch kommst?
$1 - [mm] \frac{x}{\pi}=\frac{\pi-x}{\pi}$
[/mm]
FRED
>
> Grüße,
> T.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Ernte1893 |
>
> [mm]1 - \frac{x}{\pi}=\frac{\pi-x}{\pi}[/mm]
>
> FRED
Hallo FRED,
:) sehr aufmerksam, aber es geht mir viel mehr um die Sache
[mm] P(0\le x\le \xi \le \pi) =\ 1 - \frac{x}{\pi} [/mm]
Also mMn ist es:
[mm] P(0\le x\le \xi \le \pi) =\ \integral_{0}^{x}{\frac{1}{\pi} dx} =\ \frac{x}{\pi} [/mm]
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> >
> > [mm]1 - \frac{x}{\pi}=\frac{\pi-x}{\pi}[/mm]
> >
> > FRED
>
> Hallo FRED,
>
> :) sehr aufmerksam, aber es geht mir viel mehr um die Sache
>
> [mm]P(0\le x\le \xi \le \pi) =\ 1 - \frac{x}{\pi}[/mm]
>
> Also mMn ("meiner Meinung nach" ?) ist es:
>
> [mm]P(0\le x\le \xi \le \pi) =\ \integral_{0}^{x}{\frac{1}{\pi} dx} =\ \frac{x}{\pi}[/mm]
Hallo T.
es geht uns allen "um die Sache".
Wenn du den Graph der Funktion $\ K:\ [mm] \xi\mapsto \eta\ [/mm] =\ [mm] A*cos(\xi)$
[/mm]
über dem Intervall $\ [mm] 0\le \xi \le \pi$ [/mm] betrachtest, so ist der
zugehörige Graph eine monoton fallende Kurve, und der
Funktionswert ist genau dann kleiner als oder gleich einem
bestimmten y-Wert, wenn der Argumentwert größer als
oder gleich dem betrachteten x-Wert mit y=K(x) ist:
$\ [mm] K(\xi)\ \le\ y\quad \gdw\quad\xi\ \ge\ K^{-1}(y)$
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass die gleichverteilte Variable [mm] \xi
[/mm]
(die auf das Intervall [mm] 0\le \xi \le \pi) [/mm] beschränkt ist, einen
Wert hat, der größer als [mm] K^{-1}(y) [/mm] ist, berechne ich als den
Quotienten aus der Intervall-Länge für diese zuläßigen Werte,
also [mm] \pi [/mm] - x und der Gesamtlänge [mm] \pi [/mm] des Intervalls.
(Ach, manches wäre so viel einfacher zu erklären, wenn
man zusammen an einem Tisch säße und anhand einer
simplen Skizze argumentieren könnte ....)
LG , Al-Chw.
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Hey Al-Chwarizmi,
danke. Ich denke, ich habe die Lösung verstanden. Es hat bei mir nur an den Grenzen gehakt bzw. ich hab x und [mm] $\xi$ [/mm] durcheinander gebracht:
$ [mm] P(0\le x\le \xi \le \pi) [/mm] =\ [mm] \integral_{x}^{\pi}{\frac{1}{\pi} d\xi} [/mm] =\ [mm] \frac{\pi - x}{\pi} [/mm] $
Herzlichen Dank,
viele Grüße,
T
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> Hey Al-Chwarizmi,
>
> danke. Ich denke, ich habe die Lösung verstanden. Es hat
> bei mir nur an den Grenzen gehakt bzw. ich hab x und [mm]\xi[/mm]
> durcheinander gebracht:
>
>
> [mm]P(0\le x\le \xi \le \pi) =\ \integral_{x}^{\pi}{\frac{1}{\pi} d\xi} =\ \frac{\pi - x}{\pi}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Herzlichen Dank,
>
> viele Grüße,
>
> T
OK .
(das war also keine neue Frage ...)
LG , Al-Chw.
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